這些由非常簡單的程定義的曲線籠罩神秘和優(yōu)雅之中。實上，描述它們的程非常簡單，即使高中生也能理解。而，盡管世界上一最偉大的數學家做了不懈的努力，仍大量關于它們的簡問題尚未解決。但還不是全部。正如很快就會看到的，個理論連接了數學各個重要領域，因橢圓曲線不僅僅是面曲線。一個古老問題在數學中，一幾何問題可以轉化代數問題，反之亦。例如，看一下幾年前的一個經典問，正整數 n 是否等于某個邊長是有數的直角三角形的積。在這種情況下n 被稱為同余數。例如，6 是一個同余數，因為它是邊為 3，4 和 5 的直角三角形的面積。1640 年，費馬證明了 1 不是全等數。自從費的證明之后，證明個數是（或不是）余數的研究就一直進行。令人驚奇的，我們可以用初等法證明對于每一組理數數（a，b，c），如果有我們可找到兩個有理數 x 和 y，使得反過來，對于每個有理對 (x, y) 使得 y^2= x^3- (n^2) x 且 y≠0，我們可以找到三個理數 a, b, c 使得 a^2+ b^2= c^2 和 1/2 ab = n。也就是說，當 y≠0 時，面積為 n 的直角三角形恰好對應方 y^2= x^3- (n^2) x 的有理解，反之亦然。數學家會說這個集合之間存在雙。因此，當且僅當程 y^2= x^3- (n^2) x 有一個有理解 (x, y) 且 y≠0 時，n＞0 是同余數。例如，由于 1 不是同余數，y^2= x^2- x 的唯一有理解是 y = 0。具體對應如下，果我們在邊長為 3，4，5，面積為 6 的三角形上嘗試這種對應關系，那對應的解是 (x，y) =(12，36)。這非常不可思議的。一個人從數和幾何的問題開始通過代數，把它轉成一個關于平面曲上有理點的問題！圓曲線一般來說，果 f (x) 表示具有非零判別式三次多項式（即所的根都是不同的）那么 y^2= f (x) 描述的是一條橢圓曲線，除“無窮遠點”（即圓曲線上點在加法算下構成的群中的位元）?，F在，通一個小小的代數技，我們可以對坐標行適當的（有理）變，并得到一條形為的新曲線，使得條曲線上的有理數一一對應。從現在始，當我們說“橢曲線”時，指的是 y^2= x^3+ ax + b 形式的曲線以及無窮處的一點??。此外我們假定系數 a 和 b 是有理數。橢圓曲線有兩種典的形狀，如下圖所。維基百科然而，果我們把 x 和 y 看作復變量，曲線看起來就完全不了。它們看起來像甜甜圈。那么我們什么要研究橢圓曲，我們可以用它們什么呢？首先，許數論問題可以轉化丟番圖方程的問題其次，橢圓曲線與稱為格子（lattices）的離散幾何對象有關，并與些非常重要的被稱模形式的對象密切關，這些對象是一極其對稱的復函數其中包含大量的數信息。實際上，橢曲線和模形式之間聯系是證明費馬大理的關鍵，安德魯懷爾斯在 20 世紀 90 年代通過幾年的努力實現了立了這種聯系，從證明了費馬大定理在密碼學中，橢圓線也被用于加密信和在線交易。然而它們最重要的特征一個令人興奮的事，即它們不僅僅是線和幾何。事實上它們有一個代數結叫做阿貝爾群結構這是一種幾何運算規(guī)則），用來把曲上的點相加。對于貝爾群，你可以把想象成一組對象，它們進行運算，使它們具有與整數在法方面相同的結構除了它們可以是有的）。阿貝爾群的子有：關于加法運的整數?。將正方順時針旋轉 90 度的操作。以向量元素，向量加法為算的向量空間。橢曲線的神奇之處在，我們可以在橢圓線上的有理數點（就是說，x 和 y 坐標都是有理數）之間定義一個運算稱它為“⊕”），樣曲線上這些點的合就變成了一個關運算“⊕”和單位素??（無窮遠處的）的阿貝爾群。讓們定義這個運算。果你在曲線上取兩有理點（例如 P 和 Q），并考慮一條經過它們的直炎帝那么這條直線與曲相交于另一個有理（可能是無窮遠處點）。我們稱這個為-R。現在，因為曲線是關于 x 軸對稱的，我們得到一個有理點 R。這個反射點（上圖中 R）是前面提到的兩個點（P 和 Q）的相加。我們可寫成可以證明，這運算是滿足結合律這真的很令人驚訝此外，無窮遠處的作為這個運算的（一）恒等式，每個都有一個逆點。巨的謎團事實證明，條不同的橢圓曲線以有截然不同的群一個重要的不變量在某種意義上是最定義性的特征，就所謂的曲線（或群的秩。一條曲線上以有有限個有理點也可以有無限個有點。我們感興趣的，需要多少點才能據前面提到的加法則生成所有其他的。這些生成器被稱基點。秩是一種維度量，就像向量空的維數一樣，表示多少獨立的基點（曲線上）具有無限。如果曲線上只包有限數量的有理點那么秩為零。仍然一個群，但它是有的。計算橢圓曲線秩是出了名的困難但莫德爾告訴我們圓曲線的秩總是有的。也就是說，我只需要有限數量的點就可以生成曲線的所有有理點。數中最重要和最有趣問題之一被稱為波和斯溫納頓-戴雅猜想（the Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture），它完全是關于橢圓曲的秩。事實上，它如此的困難和重要以至于它成了千禧難題之一。在具有理數系數的橢圓曲上尋找有理點是困的。一種方法是通對曲線 p 進行模數化簡，其中 p 是質數。這意味著我們不考慮方程 y^2= x^3+ ax + b 的有理解集，而是考慮余的有理解集，為使它有意義，我們能必須通過在兩邊以整數來消去分母所以我們考慮的是個數，當除以 p 時余數相同，在這新空間中相等。這做的好處是，現在有有限數量的東西要檢查。讓我們用 N_p 表示對 p 取模的簡化曲線的有理解的個數。在 20 世紀 60 年代早期，戴爾在橋大學計算機實驗使用 EDSAC-2 計算機來計算在已知秩的橢圓曲線取 p 模的點數。他和數學家布萊恩約翰?伯奇一起研了橢圓曲線，并在算機處理了一堆下形式的橢圓曲線之對于 x 的增長，他們從與曲線 E 相關的數據中得到下輸出：y^2= x^3- 5x（作為一個例子）。我該注意到 x 軸是 log log x，y 軸是 log y。在這個圖上，回歸線的斜率似是 1。曲線 E 的秩是 1，當他們嘗試不同秩的曲線，每次都發(fā)現了相的模式。擬合的回線的斜率似乎總是于曲線的秩。更準地說，他們提出了膽的猜想這里 C 是某個常數。這種算機運算加上極大遠見，使他們對曲的哈塞-韋爾 L-函數 L (E，s) 在 s = 1 時的行為做出了一般性猜想。這個 L 函數定義如下。讓令曲線的判別式欽鵧 Δ。然后我們可以定義與 E 相關的 L 函數為以下的歐拉積我們把它看復變量 s 的函數。波奇和斯溫納頓-戴雅猜想現在是這的：設 E 為?上的任意橢圓曲線。線 E 的有理點的阿貝爾群 E (?) 的秩等于 s = 1 時 L (E, s) 的零點的階。之所以說它有遠見是因為，在時，他們甚至不知是否所有這樣的 L 函數都存在所謂的解析延拓。問題是上面定義的 L (E, s) 僅當 Re (s)＞3/2。它們都可以用解析延拓在 s = 1 處求值，這在 2001 年首次被證明，通過安德魯懷爾斯證明的與模式的密切聯系。有這個猜想是用 L 函數的泰勒展開來示的，但它是用不的方式來表達同樣事情。有理數的領可以被更一般的領所取代。橢圓曲線是一場數論、抽象數和幾何之間的美舞蹈。關于它們，了我在這里描述的還有很多可說的，希望你能感受到或到一些令人震驚的西。本文來自微信眾號：老胡說科學 （ID：LaohuSci），作者：我才是老?
