這些由非常簡(jiǎn)單的方程定義曲線(xiàn)籠罩在神秘和優(yōu)雅之中事實(shí)上，描述它們的方程非簡(jiǎn)單，即使是高中生也能理。然而，盡管世界上一些最大的數(shù)學(xué)家做出了不懈的努，仍有大量關(guān)于它們的簡(jiǎn)單題尚未解決。但這還不是全。正如你很快就會(huì)看到的，個(gè)理論連接了數(shù)學(xué)的各個(gè)重領(lǐng)域，因?yàn)闄E圓曲線(xiàn)不僅僅平面曲線(xiàn)。一個(gè)古老的問(wèn)題數(shù)學(xué)中，一些幾何問(wèn)題可以化為代數(shù)問(wèn)題，反之亦然。如，看一下幾千年前的一個(gè)典問(wèn)題，正整數(shù) n 是否等于某個(gè)邊長(zhǎng)是有理數(shù)的直角角形的面積。在這種情況下n 被稱(chēng)為同余數(shù)。例如，6 是一個(gè)同余數(shù)，因?yàn)樗沁呴L(zhǎng)為 3，4 和 5 的直角三角形的面積。1640 年，費(fèi)馬證明了 1 不是全等數(shù)。自從費(fèi)馬的證明之后證明某個(gè)數(shù)是（或不是）同數(shù)的研究就一直在進(jìn)行。令驚奇的是，我們可以用初等法證明對(duì)于每一組有理數(shù)數(shù)a，b，c），如果有我們可以找到兩個(gè)有理數(shù) x 和 y，使得反過(guò)來(lái)，對(duì)于每個(gè)有理數(shù)對(duì) (x, y) 使得 y^2= x^3- (n^2) x 且 y≠0，我們可以找到三個(gè)有理數(shù) a, b, c 使得 a^2+ b^2= c^2 和 1/2 ab = n。也就是說(shuō)，當(dāng) y≠0 時(shí)，面積為 n 的直角三角形恰好對(duì)應(yīng)方程 y^2= x^3- (n^2) x 的有理解，反之亦然。數(shù)學(xué)家會(huì)說(shuō)這兩集合之間存在雙射。因此，且僅當(dāng)方程 y^2= x^3- (n^2) x 有一個(gè)有理解 (x, y) 且 y≠0 時(shí)，n＞0 是同余數(shù)。例如，由于 1 不是同余數(shù)，y^2= x^2- x 的唯一有理解是 y = 0。具體對(duì)應(yīng)如下，如果我們?cè)谶呴L(zhǎng)為 3，4，5，面積為 6 的三角形上嘗試這種對(duì)應(yīng)關(guān)系，那么對(duì)應(yīng)的是 (x，y) =(12，36)。這非常不可思議的。一個(gè)人從數(shù)論和幾驩疏的問(wèn)題始，通過(guò)代數(shù)，把它轉(zhuǎn)化成個(gè)關(guān)于平面曲線(xiàn)上有理點(diǎn)的題！橢圓曲線(xiàn)一般來(lái)說(shuō)，如 f (x) 表示具有非零判別式的三次多項(xiàng)式（即所的根都是不同的），那么 y^2= f (x) 描述的是一條橢圓曲線(xiàn)，除了“無(wú)遠(yuǎn)點(diǎn)”（即橢圓曲線(xiàn)上點(diǎn)在法運(yùn)算下構(gòu)成的群中的單位）?，F(xiàn)在，通過(guò)一個(gè)小小的數(shù)技巧，我們可以對(duì)坐標(biāo)進(jìn)適當(dāng)?shù)模ㄓ欣恚└淖?，并?一條形式為的新曲線(xiàn)，使得條曲線(xiàn)上的有理數(shù)點(diǎn)一一對(duì)。從現(xiàn)在開(kāi)始，當(dāng)我們說(shuō)“圓曲線(xiàn)”時(shí)，指的是 y^2= x^3+ ax + b 形式的曲線(xiàn)以及無(wú)窮遠(yuǎn)處的一點(diǎn)??。此外，我們假定系 a 和 b 是有理數(shù)。橢圓曲線(xiàn)有兩種典型的形狀，下圖所示。維基百科然而，果我們把 x 和 y 看作復(fù)變量，曲線(xiàn)看起來(lái)就完全同了。它們看起來(lái)像是甜甜。那么我們?yōu)槭裁匆芯繖E曲線(xiàn)，我們可以用它們做什呢？首先，許多數(shù)論問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為丟番圖方程的問(wèn)題，次，橢圓曲線(xiàn)與被稱(chēng)為格子lattices）的離散幾何對(duì)象有關(guān)，并與一些非海經(jīng)要的被稱(chēng)為模形式的對(duì)象密相關(guān)，這些對(duì)象是一些極其稱(chēng)的復(fù)函數(shù)，其中包含大量數(shù)論信息。實(shí)際上，橢圓曲和模形式之間的聯(lián)系是證明馬大定理的關(guān)鍵，安德魯?爾斯在 20 世紀(jì) 90 年代通過(guò)幾年的努力實(shí)現(xiàn)了立了這種聯(lián)系，從而證明了馬大定理。在密碼學(xué)中，橢曲線(xiàn)也被用于加密信息和在交易。然而，它們最重要的征是一個(gè)令人興奮的事實(shí)，它們不僅僅是曲線(xiàn)和幾何。實(shí)上，它們有一個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)做阿貝爾群結(jié)構(gòu)，這是一種何運(yùn)算（規(guī)則），用來(lái)把曲上的點(diǎn)相加。對(duì)于阿貝爾群你可以把它想象成一組對(duì)象對(duì)它們進(jìn)行運(yùn)算，使得它們有與整數(shù)在加法方面相同的構(gòu)（除了它們可以是有限的。阿貝爾群的例子有：關(guān)于法運(yùn)算的整數(shù)?。將正方形時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90 度的操作。以向量為元素，向量加法為算的向量空間。橢圓曲線(xiàn)的奇之處在于，我們可以在橢曲線(xiàn)上的有理數(shù)點(diǎn)（也就是，x 和 y 坐標(biāo)都是有理數(shù)）之間定義一個(gè)運(yùn)算（稱(chēng)為“⊕”），這樣曲線(xiàn)上這點(diǎn)的集合就變成了一個(gè)關(guān)于算“⊕”和單位元素??（無(wú)遠(yuǎn)處的點(diǎn)）的阿貝爾群。讓們定義這個(gè)運(yùn)算。如果你在線(xiàn)上取兩個(gè)有理點(diǎn)（例如 P 和 Q），并考慮一條經(jīng)過(guò)它們的直線(xiàn)，那么這條直鳴蛇曲線(xiàn)相交于另一個(gè)有理點(diǎn)（能是無(wú)窮遠(yuǎn)處的點(diǎn)）。我們這個(gè)點(diǎn)為-R?，F(xiàn)在，因?yàn)榍€(xiàn)是關(guān)于 x 軸對(duì)稱(chēng)的，我們得到另一個(gè)有理點(diǎn) R。這個(gè)反射點(diǎn)（上圖中的 R）是前面提到的兩個(gè)點(diǎn)（P 和 Q）的相加。我們可以寫(xiě)成可以證明，這個(gè)運(yùn)算魃滿(mǎn)足結(jié)律，這真的很令人驚訝。此，無(wú)窮遠(yuǎn)處的點(diǎn)作為這個(gè)運(yùn)的（唯一）恒等式，每個(gè)點(diǎn)有一個(gè)逆點(diǎn)。巨大的謎團(tuán)事證明，兩條不同的橢圓曲線(xiàn)以有截然不同的群。一個(gè)重的不變量，在某種意義上是具定義性的特征，就是所謂曲線(xiàn)（或群）的秩。一條曲上可以有有限個(gè)有理點(diǎn)，也以有無(wú)限個(gè)有理點(diǎn)。我們感趣的是，需要多少點(diǎn)才能根前面提到的加法規(guī)則生成所其他的點(diǎn)。這些生成器被稱(chēng)基點(diǎn)。秩是一種維數(shù)度量，像向量空間的維數(shù)一樣，表有多少獨(dú)立的基點(diǎn)（在曲線(xiàn)）具有無(wú)限階。如果曲線(xiàn)上包含有限數(shù)量的有理點(diǎn)，那秩為零。仍然有一個(gè)群，但是有限的。計(jì)算橢圓曲線(xiàn)的是出了名的困難，但莫德?tīng)?訴我們橢圓曲線(xiàn)的秩總是有的。也就是說(shuō)，我們只需要限數(shù)量的基點(diǎn)就可以生成曲上的所有有理點(diǎn)。數(shù)論中最要和最有趣的問(wèn)題之一被稱(chēng)波奇和斯溫納頓-戴雅猜想（the Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture），它完全是關(guān)于橢圓曲線(xiàn)的秩。事實(shí)上，它武羅如此的難和重要，以至于它成了千年難題之一。在具有有理數(shù)數(shù)的橢圓曲線(xiàn)上尋找有理點(diǎn)困難的。一種方法是通過(guò)對(duì)線(xiàn) p 進(jìn)行模數(shù)化簡(jiǎn)，其中 p 是質(zhì)數(shù)。這意味著，我們不考慮方程 y^2= x^3+ ax + b 的有理解集，而是考慮同余的有解集，為了使它有意義，我可能必須通過(guò)在兩邊乘以整來(lái)消去分母。所以我們考慮是兩個(gè)數(shù)，當(dāng)除以 p 時(shí)余數(shù)相同，在這個(gè)新空間中相。這樣做的好處是，現(xiàn)在只有限數(shù)量的東西需要檢查。我們用 N_p 表示對(duì) p 取模的簡(jiǎn)化曲線(xiàn)的有理解的個(gè)數(shù)。在 20 世紀(jì) 60 年代早期，戴爾在劍橋大學(xué)計(jì)算機(jī)實(shí)驗(yàn)室使用 EDSAC-2 計(jì)算機(jī)來(lái)計(jì)算在已知秩的橢圓曲線(xiàn)上取 p 模的點(diǎn)數(shù)。他和數(shù)學(xué)家布萊恩?翰?伯奇一起研究了橢圓曲，并在計(jì)算機(jī)處理了一堆下形式的橢圓曲線(xiàn)之后對(duì)于 x 的增長(zhǎng)，他們從與曲線(xiàn) E 相關(guān)的數(shù)據(jù)中得到以下輸出：y^2= x^3- 5x（作為一個(gè)例子）。我應(yīng)該意到 x 軸是 log log x，y 軸是 log y。在這個(gè)圖上，回歸線(xiàn)的斜率似乎是 1。曲線(xiàn) E 的秩是 1，當(dāng)他們嘗試不同秩的曲線(xiàn)時(shí)，每次都發(fā)菌狗了同的模式。擬合的回歸線(xiàn)的率似乎總是等于曲線(xiàn)的秩。準(zhǔn)確地說(shuō)，他們提出了大膽猜想這里 C 是某個(gè)常數(shù)。這種計(jì)算機(jī)運(yùn)算加上極大的見(jiàn)，使他們對(duì)曲線(xiàn)的哈塞-韋爾 L-函數(shù) L (E，s) 在 s = 1 時(shí)的行為做出了一般性猜想。這個(gè) L 函數(shù)定義如下。讓令曲線(xiàn)的判別式記為 Δ。然后我們可以定義與 E 相關(guān)的 L 函數(shù)為以下的歐拉積我們把它看做復(fù)變量 s 的函數(shù)。波奇和斯溫納頓-戴雅猜想現(xiàn)在是這樣的：設(shè) E 為?上的任意橢圓曲線(xiàn)。曲線(xiàn) E 的有理點(diǎn)的阿貝爾群 E (?) 的秩等于 s = 1 時(shí) L (E, s) 的零點(diǎn)的階。之所以說(shuō)它很有見(jiàn)是因?yàn)?，在?dāng)時(shí)，他們甚不知道是否所有這樣的 L 函數(shù)都存在所謂的解析延拓問(wèn)題是，上面定義的 L (E, s) 僅當(dāng) Re (s)＞3/2。它們都可以用解析延拓在 s = 1 處求值，這在 2001 年首次被證明，通過(guò)安德魯?懷斯證明的與模形式的密切聯(lián)。有時(shí)這個(gè)猜想是用 L 函數(shù)的泰勒展開(kāi)來(lái)表示的，但是用不同的方式來(lái)表達(dá)同樣事情。有理數(shù)的領(lǐng)域可以被一般的領(lǐng)域所取代。橢圓曲的是一場(chǎng)數(shù)論、抽象代數(shù)和何之間的美麗舞蹈。關(guān)于它，除了我在這里描述的，還很多可說(shuō)的，我希望你能感到或看到一些令人震驚的東。本文來(lái)自微信公眾號(hào)：老說(shuō)科學(xué) （ID：LaohuSci），作者：我才是老翠山
