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本文來自微信公眾號(hào)：返樸 （ID：fanpu2019），作者：張和持長(zhǎng)久以來，人們將“數(shù)”等同于“實(shí)數(shù)”??實(shí)數(shù)就如同當(dāng)空烈日一般，統(tǒng)著整個(gè)數(shù)學(xué)世界。文藝復(fù)興時(shí)的代數(shù)學(xué)家為了解方程，引入復(fù)數(shù)?。?但即便是復(fù)數(shù)這樣然的構(gòu)造，也歷經(jīng)了幾百年才數(shù)學(xué)界所接受。實(shí)數(shù)的地位似是不可置疑的。到了 19 世紀(jì)末 20 世紀(jì)初，數(shù)學(xué)家們驚訝地發(fā)現(xiàn)，包含??的完備不一定是??，還有可能是?進(jìn)數(shù)??。?就像是星星，??更像是月亮：月亮固然是夜中最為明亮的，也時(shí)常蓋過群的光輝，但是星星的存在也提著我們，這個(gè)宇宙中有更加遼的空間等待探索。上帝創(chuàng)造了數(shù)，其他都是人類的工作?！? 利奧波德?克羅內(nèi)克（Leopold Kronecker）進(jìn)數(shù)的引入動(dòng)機(jī)?進(jìn)數(shù)的其不是一個(gè)符號(hào)，而是代表某一素?cái)?shù)。有理數(shù)域可以擴(kuò)充為實(shí)域，但是這種擴(kuò)充并不是唯一。上面所說的進(jìn)數(shù)，就是指對(duì)任意素?cái)?shù)，都可以擴(kuò)充為進(jìn)數(shù)。實(shí)數(shù)來自于有理數(shù)的小數(shù)展，而進(jìn)數(shù)來自有理數(shù)的進(jìn)展開雖然小數(shù)也有不同進(jìn)制的寫法但是這與進(jìn)數(shù)本質(zhì)上是不一樣：小數(shù)展開默認(rèn)的是逐次變小而進(jìn)展開則默認(rèn)逐次變“小”我們將在后文中解釋這個(gè)問題如下圖所示，實(shí)數(shù)與進(jìn)數(shù)的地是相同的。實(shí)數(shù)和進(jìn)數(shù)都包含理數(shù)，他們之間是并列的關(guān)系次引入進(jìn)數(shù)的是德國(guó)數(shù)學(xué)家亨爾（Kurt Hensel），而在他之前的庫(kù)默爾（Ernst Kummer）已經(jīng)隱含地使用過了這種奇妙的數(shù)字。同庫(kù)默爾一樣，亨澤爾的原始作也很難讀懂。他的文章發(fā)表 1897 年，此時(shí)“域”的概念才僅僅鵹鶘生了 4 年：1893 年，韋伯（Heinrich Martin Weber）第一次定義了域，它是一個(gè)帶有加法周禮乘法兩種運(yùn)算的合，也可以寫作，滿足加法和法的結(jié)合律加法和乘法的交換加法和乘法都有單位元（一般加法單位元寫作，乘法單位元作）每個(gè)元都有加法逆元，也是每個(gè)非零元都有乘法逆元，就是乘法對(duì)于加法滿足分配律們熟悉的有理數(shù)和實(shí)數(shù)都是域韋伯之所以這么定義，是想把就是模剩余類，比如說一周七的算數(shù)就是）也納入進(jìn)來。如去掉乘法逆元的條件，上述定就變成了所謂的交換環(huán)，最典的例子就是整數(shù)環(huán)。數(shù)論的問通常是關(guān)于的，如果在中允許零元有乘法逆，就得到了，這構(gòu)造叫作取的分式域。由于很中得到的結(jié)論都能直接套到上例如中首項(xiàng)系數(shù)為的多項(xiàng)式存有理根當(dāng)且僅當(dāng)它存在整數(shù)根，所以我們通常把它們放在一考慮。但是這兩個(gè)對(duì)象的性質(zhì)很“糟糕”。例如，我們想要斷對(duì)于某一對(duì)非零的，是否有理數(shù)解。這看上去根本無從下。但是如果想要判斷有沒有實(shí)根，就很簡(jiǎn)單了：只要中有一，就存在實(shí)數(shù)解，反之則不存。假如，那么就是一個(gè)實(shí)數(shù)解但是如果，那么對(duì)于任意實(shí)數(shù)都一定，所以不存在實(shí)數(shù)解。顯然，存在有理數(shù)解，那就一存在實(shí)數(shù)解，畢竟，但是反過并不一定成立。那實(shí)數(shù)解的存性對(duì)有理數(shù)解有幫助嗎？答案肯定的，為此我們需要定義希伯特符號(hào)（是“或者”，是“且”）：要解決有理解的判斷題，需要對(duì)于每個(gè)素?cái)?shù)定義希伯特符號(hào)。這個(gè)定義同樣初等但是稍微麻煩一些，有興趣的者可以自行查閱參考文獻(xiàn) [1]，我們之后不會(huì)涉及這個(gè)定義本身。重點(diǎn)黃鷔于，這個(gè)定義是以直接計(jì)算的，所以很方便判。數(shù)學(xué)家們證明了一個(gè)驚人的理：存在有理數(shù)解當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)有都成立。這個(gè)定理的確非常便，但它提出了一個(gè)更加深刻問題：既然可以解釋為判斷是有實(shí)數(shù)解，那是否也對(duì)應(yīng)著一的擴(kuò)域，而且當(dāng)且僅當(dāng)方程在個(gè)域中存在解呢？如果的確如，那似乎我們就能把有理數(shù)解作是這些所有域中解的“交集。當(dāng)然，交集的說法并不準(zhǔn)確就結(jié)論而言，我們要尋找的對(duì)的正是進(jìn)數(shù)域，這些所有的和起，可以稱為對(duì)應(yīng)的“局部域。而則是“整體域”。上面的理其實(shí)是在講局部與整體的對(duì)。這聽起來似乎匪夷所思，明域變大了，卻從整體變成了局。要解釋這一點(diǎn)，我們要先了一些幾何學(xué)。類比整數(shù)環(huán) ?與多項(xiàng)式環(huán)早在抽象環(huán)論誕生之，數(shù)學(xué)家們就注意到數(shù)論與幾的相似之處。具體來說，與作環(huán)的性質(zhì)非常相似，比如這兩環(huán)都能做帶余除法，因此它們是歐幾里得整環(huán)。這里是以為數(shù)的多項(xiàng)式環(huán)，這個(gè)系數(shù)域就換成別的域也會(huì)有很多相似之，但是我們這里需要用到一些析的方法，所以復(fù)數(shù)最為方便順帶著，它們的分式域和也很似。就是指允許非零多項(xiàng)式做法。的元可以看作是上的亞純數(shù)：它們的分母在個(gè)別點(diǎn)不一不為零，所以這些函數(shù)會(huì)有趨無窮的極點(diǎn)，但是這些點(diǎn)都是散的，很容易處理。對(duì)于而言局部顯然就是指其中的任何一點(diǎn)。這些亞純函數(shù)在任何點(diǎn)附能展開成洛朗級(jí)數(shù)，就如同全函數(shù)（處處解析）能在任何點(diǎn)開成泰勒級(jí)數(shù)一樣，只不過洛級(jí)數(shù)允許存在這樣的項(xiàng)。例如在點(diǎn)附近，可以展開的形式。任何點(diǎn)處我們都能定義亞純函的階為其洛朗展開最左邊那一的次數(shù)。比如上面這個(gè)函數(shù)在一點(diǎn)的階就是。類似的展開也以在中進(jìn)行。一般來說對(duì)于某有理數(shù)，我們都能將它寫作的式，其中是互不相同的素?cái)?shù)，整數(shù)，可正可負(fù)。定義。我們沒有辦法把展開成類似的形式？答案是肯定的，你可以形式地對(duì)做進(jìn)展開為什么可以這樣呢？對(duì)于一般的實(shí)數(shù)除法，商小數(shù)點(diǎn)后的數(shù)字會(huì)越來越長(zhǎng)，為我們默認(rèn)數(shù)字的位數(shù)越靠后其“大小”就越小，所以我們能寫出這樣的無窮小數(shù)。但是做出上面這樣的展開，其實(shí)是認(rèn)的序列會(huì)越來越“小”，我先寫，這樣只需要算，最后整移動(dòng)一位。計(jì)算如下細(xì)心的讀會(huì)發(fā)現(xiàn)，這樣的除法之所以每步都能算出商的一位數(shù)字，依于是域這個(gè)事實(shí)，所以對(duì)于不素?cái)?shù)的數(shù)，不是域，也就不能樣展開。這樣就算出了現(xiàn)在完依靠類比，我們得到了這樣的開式。對(duì)任意素?cái)?shù)，我們稱這的展開為進(jìn)展開。這樣的展開小數(shù)的進(jìn)制表示非常相似，這也解釋了它的名字。但這純粹形式上的。我們還需要解釋三問題：有理函數(shù)在某點(diǎn)的洛朗開顯然與“局部”有關(guān)，但是理數(shù)在素?cái)?shù)處的進(jìn)展開為什么叫局部？為什么也是的局部？竟要怎么嚴(yán)格定義進(jìn)展開？也是說，如何定義？為什么叫局？我們需要把中的點(diǎn)與聯(lián)系起，這樣才能知道，對(duì)于來說，究竟是什么意思。為此我們需理想的概念。對(duì)于一個(gè)交換環(huán)理想是一個(gè)滿足以下性質(zhì)的真集：對(duì)于加減法封閉；，也就說的元在乘上任意中的元之后結(jié)果仍在中。這個(gè)定義原本是默爾（Ernst Eduard Kummer）與戴德金（Julius Wilhelm Richard Dedekind）為了解決代數(shù)數(shù)域中素元分解吳權(quán)成立而提出的（這也為什么叫做理想：一個(gè)非常“想”的子集），代數(shù)幾何學(xué)家卻找到了它的幾何意義。我們來表示中包含的最小理想（也是說由生成的理想）。這是一極大理想，也就是說，它不是何理想的真子集。實(shí)際上，對(duì)中的任意點(diǎn)，都是極大理想。反過來，中的所有極大理想，都形如。所以的點(diǎn)與的極大理一一對(duì)應(yīng)。這樣我們就能考慮極大理想，來當(dāng)作它的點(diǎn)了，的極大理想正是所有形如的理。這樣簡(jiǎn)單的類比其實(shí)還不能為“幾何”。這要等到格羅滕克（Alexander Grothendieck）創(chuàng)造性地提出概型理論，研究的代數(shù)何與研究的數(shù)論才能真正統(tǒng)一一起。在這套理論中，環(huán)的素想（本文中不需要這個(gè)概念）稱為點(diǎn)，而極大理想則是閉點(diǎn)這套理論需要更加艱深的背景識(shí)，本文就不做介紹了?？傊?上面我們用到的洛朗展開和進(jìn)開，都是對(duì)應(yīng)兩個(gè)環(huán)的閉點(diǎn)。果接受這樣的設(shè)定，你就會(huì)發(fā)“局部”的說法沒什么問題。么在中的展開，也就是小數(shù)展，它算什么呢？它其實(shí)是對(duì)應(yīng)理函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的洛朗展開如圖所示img復(fù)平面上的任何點(diǎn)都可以對(duì)應(yīng)于媱姬面上的某點(diǎn)只需要連接球的頂端與復(fù)平面的點(diǎn)，線段一定會(huì)交于球面上一點(diǎn)。這樣就建立了復(fù)平面與面（除了頂端一點(diǎn)）的一一對(duì)。而如果在復(fù)平面上以任何方接近無窮，轉(zhuǎn)換到球面上，就定會(huì)逼近頂點(diǎn)。這樣我們就可把這個(gè)球面當(dāng)作是的擴(kuò)充，稱黎曼球面，記作?，F(xiàn)在要對(duì)有函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)處做洛朗展開其實(shí)就是把里的有理函數(shù)看作是的函數(shù)，然后在處作洛朗展。也就是因?yàn)檫@樣的類似性，們上面定義的判別式才寫作。義為了定義，我們首先得知道什么。從邏輯上來說，第一個(gè)義的應(yīng)該是自然數(shù)，然后才是, 但是這每一步是怎么來的呢？是由皮亞諾公理定義的，也就從開始，規(guī)定每個(gè)數(shù)都有一個(gè)繼數(shù)，所以可以使用數(shù)學(xué)歸納。隨后我們要得到，該怎么辦？直觀來看，定義整數(shù)允許了數(shù)的存在。但是負(fù)數(shù)究竟是什？比如說，它其實(shí)是，也可以。所以如果要用來定義的話，個(gè)整數(shù)實(shí)際上是中的一個(gè)等價(jià)，也就是當(dāng)時(shí)，我們規(guī)定等價(jià)系。這樣就可以定義為所有等類構(gòu)成的集合。當(dāng)然是的子集因?yàn)樽匀粩?shù)相當(dāng)于是這個(gè)等價(jià)。類似的方法可以構(gòu)造：因?yàn)?許分?jǐn)?shù)存在，而且如果，就有所以我們定義，其中當(dāng)時(shí)。而數(shù)也可以等同于等價(jià)類，所以是的子集。上面兩次擴(kuò)張，都允許了某種新的運(yùn)算，然后通取等價(jià)類的方式來構(gòu)造的。那是允許了什么運(yùn)算呢？答案是極限。從事后諸葛亮的角度來，如下序列的極限是，但是現(xiàn)我們只有，所以我們只能說，個(gè)序列在中是不收斂的。如果所有像這樣的序列都收斂到一數(shù)，那想必就是了。但并不是有序列都收斂，比如所以我們要對(duì)序列加以限制，然后取某等價(jià)類。限制后的序列被稱為西列，定義如下：對(duì)于有理序，滿足對(duì)于任意，都存在一個(gè)使得只要，就有。直觀來看，是要求序列的尾部擺動(dòng)趨于。難證明，收斂于有理數(shù)的序列是柯西列，所以這可以說是中斂序列的自然推廣。當(dāng)然兩個(gè)西列有可能收斂于同一個(gè)數(shù)，以我們還需要等價(jià)關(guān)系當(dāng)且僅。這樣所有柯西列組成的集合的所有等價(jià)類就定義為。所有有理數(shù)都等同于是常數(shù)柯西列等價(jià)類，所以也是的子集。這可以解釋一個(gè)對(duì)外行而言難以答的問題。其實(shí)是柯西列，而是柯西列。他們的差是序列，于，所以兩個(gè)柯西列等價(jià)。不我們要注意一點(diǎn)，柯西列的定依賴于。當(dāng)然這里的的定義是常意義上的絕對(duì)值。絕對(duì)值表兩個(gè)數(shù)之間的距離。在中，是來越小的。但是我們看到，在面的進(jìn)展開中，越來越小的卻，這就提示我們，應(yīng)該更改這距離的定義，我們暫且把這種距離稱為，稱為進(jìn)度量。我們要越大，就越小，所以一個(gè)自的定義是。其實(shí)底數(shù)不一定要，取任何大于的數(shù)都可以（他決定的柯西列是完全一致的）之所以取只是為了方便。當(dāng)然距離并不是隨便取的，函數(shù)需滿足三條性質(zhì)才能叫做度量函（這其實(shí)定義了域上的范數(shù)）當(dāng)且僅當(dāng)；；，也就是三角形則，兩邊之和不小于第三邊。樣只要有距離函數(shù)，就能定義西列，就能定義新的域。這個(gè)程被稱為完備化，因?yàn)槲覀兎Q何柯西列都收斂的域?yàn)橥陚溆?總結(jié)一下，就是說的絕對(duì)值度完備化得到，而的進(jìn)度量完備就定義為，就是我們想要的進(jìn)域。我們甚至可以對(duì)定義類似距離，得到的完備化就是形式朗級(jí)數(shù)域和。所謂形式洛朗級(jí)，就是形如一個(gè)洛朗級(jí)數(shù)的表式，不過不用處理收斂問題。通過洛朗展開，嵌入到這些形洛朗級(jí)數(shù)域中作為子集。的完化不過我們并不把稱為局部域這是別的原因了，與本文無關(guān)我們可以看到，這些嵌入關(guān)系進(jìn)數(shù)非常相似。既然任意給一度量就能定義柯西列，那除了對(duì)值和進(jìn)度量之外，還有別的法定義距離嗎？答案是沒有。中，任意一個(gè)滿足上面三條性的度量，都等價(jià)于絕對(duì)值或者某個(gè)進(jìn)度量。也就是說，以上們提到的就是所有的完備化方了。我們平常計(jì)算實(shí)數(shù)的時(shí)候并不會(huì)總是考慮柯西列，反而小數(shù)展開更常用；同樣，實(shí)際算進(jìn)數(shù)的時(shí)候，更常用進(jìn)展開運(yùn)用以上構(gòu)造，我們可以證明且僅當(dāng)方程在中有解。所以我開篇提到的定理，就可以表述：在中有解當(dāng)且僅當(dāng)其在所有中有解。我們自然而然會(huì)問，不是任意給一個(gè)多項(xiàng)式方程，存在有理解的條件都等同于存實(shí)數(shù)解和所有進(jìn)數(shù)解？答案是定的，有不少多項(xiàng)式不成立這結(jié)論。這激發(fā)起了數(shù)學(xué)家們的奇心：究竟哪些多項(xiàng)式有類似性質(zhì)呢？我們把這個(gè)方向稱為部 — 整體原則，直到今天，它所催女祭的新知識(shí)還在源源不滋養(yǎng)著整個(gè)數(shù)論的研究。跟現(xiàn)有什么關(guān)系嗎？的確，數(shù)論是離現(xiàn)實(shí)世界非常遙遠(yuǎn)的一個(gè)學(xué)。近些年來，有部分?jǐn)?shù)論被應(yīng)于密碼學(xué)。而要直接應(yīng)用于物，以描述現(xiàn)實(shí)世界，并被大多物理學(xué)家所接受，這樣的工作前還不多。這從邏輯上其實(shí)是奇怪的。的完備化只有和，但什么我們今天的物理理論全都用及其代數(shù)閉包描述的呢？進(jìn)與實(shí)數(shù)從邏輯上講沒有任何高之分，他們都可以做導(dǎo)數(shù)，做分，大多數(shù)你能想到的分析工，都能平等地用到它們身上。為什么我們生活在實(shí)數(shù)世界，不是進(jìn)數(shù)世界呢？還真有人想了這種可能性。弦論中，弦掃的世界面是用一維復(fù)流形（也是黎曼面）描述的，但是如果黎曼面換成是進(jìn)幾何學(xué)中對(duì)應(yīng)概念，也能創(chuàng)造出一套弦論，為進(jìn)弦論。目前來看，這方面研究成果還處于玩具階段。不，這并不影響我們的好奇心。竟，我們仰望夜空，只是因?yàn)?星很美麗。參考文獻(xiàn)[1] 加藤和也，黑川信重，齋藤毅.數(shù)論 I——Fermat 的夢(mèng)想和類域論.[2] Neal Koblitz, p-adic Numbers, p-adic Analysis, and Zeta-Functions.