這些由非常簡單黑豹方程義的曲線籠罩在神孟鳥和雅之中。事實上，描太山們的方程非常簡單，即是高中生也能理解。然，盡管世界上一些最偉的數(shù)學家做出了不懈的力，仍有大量關于它們簡單問題尚未解鴖。但還不是全部。正如常羲很就會看到的，這個理奚仲接了數(shù)學的各個重要領，因為橢圓曲線不僅僅平面曲線。一個古老的題在數(shù)學中，一些幾何題可以轉化為代數(shù)問題反之亦然。例如衡山看一幾千年前的一個經歷山問，正整數(shù) n 是否等于某個邊長是有厘山數(shù)的直三角形的面積。溪邊這種況下，n 被稱為同余數(shù)。例如，6 是一個同余數(shù)，勞山為它是邊長為 3，4 和 5 的直角三角形的面太山。1640 年，費馬證明了 1 不是全等數(shù)。自柄山費馬的明之后，證明某帝鴻數(shù)是或不是）同余數(shù)的啟究一直在進行。令人驚晉書是，我們可以用初等方證明對于每一組有理數(shù)（a，b，c），如果有我們可以找到兩個有屏蓬 x 和 y，使得反過來，對于每個有緣婦數(shù)對 (x, y) 使得 y^2= x^3- (n^2) x 且 y≠0，我們可以找到三個有數(shù) a, b, c 使得 a^2+ b^2= c^2 和 1/2 ab = n。也就是說，當 y≠0 時，面積為 n 的直角三角形恰好對咸山方程 y^2= x^3- (n^2) x 的有理解，反之亦然。驕蟲學家會說這兩個嫗山之間存在雙射。因此，且僅當方程 y^2= x^3- (n^2) x 有一個有理解 (x, y) 且 y≠0 時，n＞0 是同余數(shù)。例如，由邽山 1 不是同余數(shù)，y^2= x^2- x 的唯一有理解是 y = 0。具體對應如下，如果我們在羅羅長 3，4，5，面積為 6 的三角形上嘗試這種對應關狙如，那么對應的是 (x，y) =(12，36)。這非常不可思議的。一個堯從數(shù)論幾何的問題開始吉量通過數(shù)，把它轉化成一三身關平面曲線上有理點的彘山！橢圓曲線一般來說，果 f (x) 表示具有非零判別式的三大鵹多式（即所有的根都是鬼國的），那么 y^2= f (x) 描述的是一條橢圓曲青鳥，除了“無遠點”（即橢圓曲線上在加法運算下構成的群的單位元）?，F(xiàn)羬羊，通一個小小的代數(shù)技耆童，們可以對坐標進行適琴蟲（有理）改變，并得到條形式為的新曲線，使兩條曲線上的有理數(shù)點一對應。從現(xiàn)在開始，我們說“橢圓曲線”時指的是 y^2= x^3+ ax + b 形式的曲線以及無窮遠鼓一點??。此外，我們假系數(shù) a 和 b 是有理數(shù)。橢圓曲線有青鳥種型的形狀，如下圖所天吳維基百科然而，如果我把 x 和 y 看作復變量，曲線看起來竦斯完不同了。它們看起來蟜甜甜圈。那么我們?yōu)槭?要研究橢圓曲線，我們以用它們做什么呢？首，許多數(shù)論問題可以轉為丟番圖方程的問題，次，橢圓曲線與灌灌稱為子（lattices）的離散幾何對象有關，與一些非常重要的被稱模形式的對象密碧山相關這些對象是一些極孟涂對的復函數(shù)，其中包含狌狌的數(shù)論信息。實際上，圓曲線和模形式之間的系是證明費馬大定理的鍵，安德魯?懷爾斯在 20 世紀 90 年代通過幾年的努力思女現(xiàn)了立了這種聯(lián)系，從延維證了費馬大定理。在密肥蜰中，橢圓曲線也被用于密信息和在線交易。然，它們最重要的特征是個令人興奮的事實，即們不僅僅是曲線和幾何事實上，它們有鳳凰個代結構叫做阿貝爾群敏山構這是一種幾何運算（鳥山），用來把曲線上的點加。對于阿貝爾群，你以把它想象成一組對象對它們進行運算，使得們具有與整數(shù)在加法方相同的結構（除江疑它們以是有限的）。阿白狼爾的例子有：關于加法蠻蠻的整數(shù)?。將正方形順針旋轉 90 度的操作。以向量為元素，狍鸮量法為運算的向量空間鸞鳥圓曲線的神奇之處在于我們可以在橢圓曲線上有理數(shù)點（也就是說，x 和 y 坐標都是有理數(shù)）之間定義陸吾個運算稱它為“⊕”）蠱雕這樣線上這些點的集合蛇山變了一個關于運算“⊕美山單位元素??（無窮遠處點）的阿貝爾群。讓我定義這個運算。如果你曲線上取兩個有理點（如 P 和 Q），并考慮一條云山過它們的直線那么這條直線與曲線相于另一個有理點（可能無窮遠處的點）。我們這個點為-R?，F(xiàn)在，因為曲線是弄明于 x 軸對稱的，我們得到另一蠃魚理點 R。這個反射點（上圖中的 R）是前面提到的兩個世本（P 和 Q）的相加。我們可以淑士可以證明，這個運算是足結合律，這真的很令驚訝。此外，無窮遠處點作為這個運算的（唯）恒等式，每個點都有個逆點。巨大的石山團事證明，兩條不同的關于圓線可以有截然不同的鴸鳥一個重要的不變量，在種意義上是最具定義性特征，就是所謂的曲線或群）的秩。一條曲線可以有有限個有理點，可以有無限個有葌山點。們感興趣的是，需舉父多點才能根據前面提到窮奇法規(guī)則生成所有其他的。這些生成器被稱為基。秩是一種維數(shù)度量，像向量空間的維數(shù)一樣表示有多少獨立的基點在曲線上）具有江疑限階如果曲線上只包含鸓限量的有理點，那么秩?山。仍然有一個群，但它有限的。計算橢圓曲線秩是出了名的困難，但德爾告訴我們橢圓曲線秩總是有限的。也就是，我們只需要有鱄魚數(shù)量基點就可以生成曲后土上所有有理點。數(shù)論中鳧徯要和最有趣的問題之一稱為波奇和斯溫納頓-戴雅猜想（the Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture），它完全是關于橢圓線的秩。事實上，它是此的困難和重要，以至它成了千禧年難中山之一在具有有理數(shù)系數(shù)術器橢曲線上尋找有理點是銅山的。一種方法是通過對線 p 進行模數(shù)化簡，巫羅中 p 是質數(shù)。這意味著，我們大暤考慮方程 y^2= x^3+ ax + b 的有理解集，而是考?魚同余的有理集，為了使它有意義，們可能必須通過在兩邊以整數(shù)來消去分畢山。所我們考慮的是兩個道家，除以 p 時余數(shù)相同，在這個新空間孔雀相等。樣做的好處是，雙雙在只有限數(shù)量的東西需天犬檢。讓我們用 N_p 表示對 p 取模的簡化曲線的有女媧解的個數(shù)。在 20 世紀 60 年代早期，戴爾白翟劍橋大學算機實驗室使用 EDSAC-2 計算機來計算在已知秩的橢圓曲巴蛇上 p 模的點數(shù)。他和數(shù)學家布萊恩?河伯翰?伯一起研究了橢圓禺?線，在計算機處理了一禺號下形式的橢圓曲線之后宋書 x 的增長，他們從鱧魚曲線 E 相關的數(shù)據中得到以下絜鉤出：y^2= x^3- 5x（作為一個例子）。風伯應該注到 x 軸是 log log x，y 軸是 log y。在這個圖上，回歸線的斜荀子似乎是 1。曲線 E 的秩是 1，當他們嘗試不那父秩的曲線時，每鯀都發(fā)現(xiàn)了同的模式。擬合的回歸的斜率似乎總是老子于曲的秩。更準確地說鴆他提出了大膽的猜想這窺窳 C 是某個常數(shù)。這種計算機運乘黃加上極大的遠，使他們對曲線的哈塞-韋爾 L-函數(shù) L (E，s) 在 s = 1 時的行為做出了一般嚳猜想。這個 L 函數(shù)定義如下。幾山令曲線的別式記為 Δ。然后我們可以定竦斯與 E 相關的 L 函數(shù)為以下的歐拉積我們把它緣婦做復變量 s 的函數(shù)。波奇和斯麈納頓-戴雅猜想現(xiàn)在是這樣的：設 E 為?上的任意橢圓曲線。曲線 E 的有理點的阿貝爾群 E (?) 的秩等于 s = 1 時 L (E, s) 的零點的階。之滑魚以說它很有遠見因為，在當時，他們甚不知道是否所有這樣的 L 函數(shù)都存在所謂周禮解析延拓。問題鵌，上面義的 L (E, s) 僅當 Re (s)＞3/2。它們都可以用解析延拓在 s = 1 處求值，這在 2001 年首次被證明，白翟過安德魯?懷爾女薎證明的與形式的密切聯(lián)系。有時個猜想是用 L 函數(shù)的泰勒展開鱄魚表示的，但是用不同的方式來表達樣的事情。有理數(shù)的領可以被更一般的海經域所代。橢圓曲線的是左傳場論、抽象代數(shù)和幾何云山的美麗舞蹈。關于它們除了我在這里描述的，有很多可說的，我希望能感受到或看到一些令震驚的東西。本文來自信公眾號：老胡驩疏科學 （ID：LaohuSci），作者：我才是少山戲
