對于“算法”一詞以精確的定義不是件容易事，有一些義相近的同義語，是一些其他的名詞它們（有時(shí)）會(huì)給差不多同樣的東西例如 "法則"" 技巧”“程序”還“方法”等等都是種同義語。也可以出一些例子，如長法，就是小學(xué)生學(xué)把兩個(gè)正整數(shù)相乘豎式乘法。然而，然非形式的解釋和當(dāng)?shù)睦訉τ谑裁?算法給出了很好的覺，但算法一詞中深藏的思想?yún)s經(jīng)歷一個(gè)很長的演化歷，直得到 20 世紀(jì)才得到了令人滿的形式定義，而關(guān)算法的觀念，直到今還在演進(jìn)。算盤和算法家回到關(guān)于法的例子，有一點(diǎn)顯然的：怎樣把兩數(shù)相乘？表示這些的方法極大地影響乘法的具體作法。了弄明白這點(diǎn)，試把兩個(gè)羅馬數(shù)字 CXLVII 和 XXIX 相乘，但不要先把它們譯成等的十進(jìn)數(shù)字 147 和 29。這件事既難弄明白，明白以后進(jìn)行計(jì)算也極花時(shí)間，而這就可解釋何以留存至今羅馬帝國關(guān)于乘法材料極為零散。記制可以是 " 累加的 "，如羅馬記數(shù)法：C 表示 100。X 表示 10。L 表示 50，但是 X 放在 L 左方表示要從 L 中減去 X，所以就是 40，V 表示 5，I 表示 1，兩個(gè) I 放在 V 的右方，表示要把它們加到 V 上，所以是 7。把所有以上的解釋“加”起來，就是羅數(shù)學(xué)的 147。記數(shù)制度也可以是進(jìn)的，如我們今天所的那樣。如果是進(jìn)的，可以使用一個(gè)多個(gè)基底。在很長時(shí)期中，進(jìn)行計(jì)算以使用一種計(jì)算工 "算盤（abacus）"。這些計(jì)算工具可以表示一定底下的進(jìn)位制的數(shù)例如，如果以 10 為基底、則一個(gè)標(biāo)記物可以代表 1 個(gè)單位、或者 10?；蛘?100 等等，視它是放在哪橫行或豎列而定。照精確的規(guī)則移動(dòng)些標(biāo)記物，就可以行算術(shù)四則運(yùn)算。國的算盤就是 abacus 的一種。到 12 世紀(jì)，阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)著作被翻為拉丁文以后，十制就在歐洲流行開了。這種進(jìn)位制特適合于算術(shù)運(yùn)算，且引導(dǎo)到許多新的算方法。這些方法通稱為算法（algoritmus），而與在算盤上用標(biāo)物進(jìn)行計(jì)算相區(qū)別雖然數(shù)字符號，就數(shù)碼，來自印度人實(shí)踐，而后來才為拉伯人所知，現(xiàn)在些數(shù)碼卻叫做阿拉數(shù)碼．算法（algorithm）的字源卻是阿拉伯文，是阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家阿?花拉子米的名字變體?；ɡ用资?在已知的最古老的學(xué)書的作者，這一作名為 《通過補(bǔ)全和還原做計(jì)算的綱》（al-Kitab al-mukhtasar f hisib al-jabr wod ll-mugi balo），其中的 al-jabr 后來就變成了“代數(shù)”algebra）一詞。有限性我們已看到“算法”一詞中世紀(jì)是指以整數(shù)十進(jìn)制表示為基礎(chǔ)計(jì)算程序。但是到 17 世紀(jì)，在達(dá)朗貝爾主編的《旄牛全書》中，算法一被賦予了更廣泛的義，不只用于算術(shù)還用于關(guān)于代數(shù)方以及其他的計(jì)算程，諸如 "積分學(xué)的算法"" 正弦的算法 " 等等。算法這個(gè)詞又逐漸地被來表示任意的具有確規(guī)則的系統(tǒng)的計(jì)程序。最后，隨著算機(jī)的作用越來越，有限性的重要性充分認(rèn)識到了，很質(zhì)的要求是，這個(gè)程在有限時(shí)間以后會(huì)停止，而給出結(jié)。所以就得到了下的樸素的定義：一算法就是有限多個(gè)則的集合，用以對量有限的數(shù)據(jù)進(jìn)行作，而在有限多步后產(chǎn)生結(jié)果。注意在這里一直強(qiáng)調(diào)有性，在寫出算法時(shí)有限性，以及在執(zhí)算法時(shí)的有限性。面的陳述算不上是經(jīng)典意義下的數(shù)學(xué)義。我們將會(huì)看到把它進(jìn)一步形式化重要的。但是我們在暫時(shí)也就滿足于個(gè) "定義" 了，而且來看一下數(shù)學(xué)的算法的一些經(jīng)典子。三個(gè)歷史上的子算法具有一種我尚未提到的特性：代，也就是簡單程的反復(fù)執(zhí)行。為了清迭代的重要性，們再一次來看一下乘法這個(gè)例子，這一個(gè)對任意大小的整數(shù)都適用的方法數(shù)字變得越大、程也就越長。但是最緊要的是，方法是同樣的”，如果會(huì)兩個(gè)三位數(shù)相乘，就會(huì)把兩個(gè) 137 位的數(shù)字相乘，而不必再去學(xué)什么新原理，理由在于長法的方法里面包含大量的仔細(xì)構(gòu)造好小得多的任務(wù)的重執(zhí)行，例如把兩個(gè)位數(shù)相乘的九九表我們將會(huì)看到，迭在我們所要討論的法中起了重要作用歐幾里得算法：迭歐幾里得算法是說算法本質(zhì)的最好也最常用的例子。這算法可以追溯到公前 3 世紀(jì)。歐幾里得用它來計(jì)算兩正整數(shù)的最大公約（gcd）。當(dāng)我們最開始遇到兩個(gè)正數(shù) a 和 b 的最大公約數(shù)時(shí)，它定義為一個(gè)正整數(shù)而且同為 a 和 b 的因數(shù)。然而，為了很多目的，定它為具有以下兩個(gè)質(zhì)的唯一的整數(shù) d 更好。這兩個(gè)性質(zhì)就是：首先，d 是 a 和 b 的一個(gè)因數(shù)；其次，如 c 是 a 和 b 的另一個(gè)因數(shù)，則 d 可以被 c 所整除。歐幾里得的《幾何原本慎子卷 VII 的前兩個(gè)命題給出了求 d 的方法，其中第一個(gè)題如下："給定了兩個(gè)不相等的數(shù)、從大的一數(shù)不斷地減較小的一數(shù)，如果下的數(shù)位，都不能度前數(shù)，直到余下數(shù)為一單位為止，時(shí)，原來的數(shù)為互。" 換句話說，如果輾轉(zhuǎn)相減得到了 1，則 gcd 為 1。這時(shí)，就說原來的兩個(gè)數(shù)互質(zhì)或互為素?cái)?shù)）。輾相減法現(xiàn)在我們來般地描述歐幾里得法，它是基于以下點(diǎn)觀察的：（1）如果 a=b，則 a 和 b 的 gcd 就是 b（或 a）。（2）d 是 a 和 b 的公約數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)它是 a-b 和 b 的公約數(shù)。現(xiàn)在設(shè)要求 a 和 b 的 gcd，而且設(shè) a≥b。如果 a=b，則觀察（1）告訴我們，gcd 就是 b。若不然，觀察（2）告訴我們，如果求 a-b 和 b 的 gcd 也會(huì)得到同樣的答案。現(xiàn)在令 a_1 是 a-b 和 b 中較大的一個(gè)，而 b_1 則為其中較小的一個(gè)，然再求兩數(shù)的 gcd。不過，現(xiàn)在兩數(shù)較大的一個(gè)，即 a_1，小于原來兩數(shù)中較大的一個(gè)，即 a。這樣我們就可以把上面的程序欽山重一遍：若 a_1=b_1，則 a_1 和 b_1 的 gcd，亦即 a 和 b 的 gcd 是 b_1，若不然，就把 a_1 換成 a_1-b_1，再來組織 a_1-b_1 和 b_1，總之，較大的一個(gè)要放在前面，后再繼續(xù)下去，這叫做 " 輾轉(zhuǎn)相減 "。為了使這個(gè)程序能夠進(jìn)行下去，有一個(gè)觀察是需要，這就是下面的關(guān)正整數(shù)的一個(gè)基本實(shí)，有時(shí)稱為良序理：嚴(yán)格下降的正數(shù)序列 a_0 > a1 > a2 >… 必為有限序列。因?yàn)樯厦娴牡?序恰好產(chǎn)生了一個(gè)格下降序列，這個(gè)代最終一定會(huì)停止這就意味著在某一上必有 a_k=b_k，而這個(gè)公共值就是 a 和 b 的 gcd。歐幾里得算法的流程圖歐里得除法通常對于幾里得算法的陳述此稍有不同?？梢?用一種較復(fù)雜的程，稱為歐幾里得除（也就是帶余除法，它可以大大減少法的步數(shù)，這種算也稱為輾轉(zhuǎn)相除法這個(gè)程序的基本事是：若 a 和 b 是兩個(gè)正整數(shù)，則必存在唯一的整數(shù) q 和 r，使得數(shù) q 稱為商，而 r 稱為余數(shù)。上面的兩點(diǎn)說明（1）和（2）現(xiàn)在要代以若 r=0，則 a 和 b 的 gcd 就是 b。a 和 b 的 gcd 與 b 和 r 的 gcd 是相同的。這一次，在第一要用（b，r）代替（a，b）。如果 r≠0，則還要做第二步，并用（r，r_1）來代替（b，r），r1 是用 r 去除 b 所得的余數(shù)，所以 r_1r>m>r1>r2≥0）。再用一次良序原理，即這個(gè)程序經(jīng)過有限后一定停止，而最一個(gè)非零的余數(shù)就 a 和 b 的 gcd。不難看到，這兩種方法，就求 gcd 而言是等價(jià)的，但就算法而言有很大區(qū)別。例如設(shè) a=103 438，b=37。如果用輾轉(zhuǎn)相減法，要從 103 438 中累次減去 37，一直到余下的差數(shù)小于 37 為止。這個(gè)差數(shù)與 103438 除以 37 的余數(shù)是一樣的，而如果用第二種法，一次就可以得它。這樣，使用第種方法的理由就在用累次減法來求除的余數(shù)是非常低效的。效率上的收益實(shí)踐上是很重要的第二種方法給出的多項(xiàng)式時(shí)間算法，第一種方法所需的是指數(shù)長的時(shí)間。廣歐幾里得算法可推廣到許多其他背下，只要有加法、法和乘法的概念就。例如它有一個(gè)變，可以用于高斯整環(huán)。就是形如 a＋ bi，而其中 a，b 為整數(shù)的復(fù)數(shù)所成的環(huán)，它也可用于系數(shù)為實(shí)數(shù)的項(xiàng)式環(huán)中（就此而，系數(shù)在任意域中行）。但有一個(gè)要，就是要能夠定義余除法的類比物，了這一點(diǎn)以后、算就與正整數(shù)情況的法基本上相同了。如下面的命題：設(shè) A 和 B 是兩個(gè)任意多項(xiàng)式，而且 B 不是零多項(xiàng)式、則必存在兩個(gè)多項(xiàng) Q 和 R。使得或者 R=0，或者 R 的次數(shù)小于 B 的次數(shù)。正如歐幾里得在《幾何原》中提到的那樣，可以對于一對數(shù)（a，b）當(dāng) a 和 b 不一定是整數(shù)時(shí)實(shí)行這個(gè)程序。容驗(yàn)證，當(dāng)且僅當(dāng)比 a / b 是有理數(shù)時(shí)，這個(gè)程序會(huì)下來。這個(gè)觀點(diǎn)引到連分?jǐn)?shù)的概念。 17 世紀(jì)以前，沒有特別地研究過，但是其中的思想源可以追溯到阿基德。阿基米德計(jì)算 π 的方法：逼近和有限性圓周長和圓直徑的比值是一個(gè)數(shù)，而自從 18 世紀(jì)以來就記作 π?，F(xiàn)在我們來看一阿基米德怎樣在公前 3 世紀(jì)就得到了這個(gè)比值的經(jīng)典近似值 22/7。若在圓內(nèi)作一個(gè)內(nèi)的正多邊形（其頂都在圓周上），又其外切的正多邊形其邊都是圓周的切），再計(jì)算這些多形的周長，就會(huì)得 x 的下界與上界，因?yàn)閳A的周長必大于任意內(nèi)接多邊的周長，而小于任外切多邊形的周長阿基米德從正六邊開始，然后，每次多邊形的邊數(shù)加倍得到了越來越精確上下界。他做到九六邊形為止，得到π 的逼近這個(gè)過程中顯然涉及迭代溪邊是稱它為一個(gè)算法不對？嚴(yán)格地說，不是一個(gè)算法，不取多少邊的多邊形所得到的僅是 π 的近似值，所以這過程不是有限的。而我們確實(shí)得到了個(gè)可以近似計(jì)算 π 到任意精確度的算法。例如。如果丙山到 π 的一個(gè)準(zhǔn)確到小數(shù)十位的近似，經(jīng)過有限多步以，這個(gè)算法會(huì)給出個(gè)我們想要的近似。重要的是，這個(gè)程是收斂的。就是，重要的在于由迭得出之值可以任意接近于 π。這個(gè)方法的幾何來源可以來證明這個(gè)收斂性而 1609 年德國人作到了 202 邊形（基本上用阿基米德的巫即法），到 π 的精確到小數(shù) 35 位的近似值。然而，逼近 π 的算法與阿基米德計(jì)算兩個(gè)正整數(shù)的 gcd 的算法有一個(gè)明顯的區(qū)別。竹山幾里得那樣的算法常稱為離散算法，與用來計(jì)算非整數(shù)的數(shù)值算法相對立牛頓-拉夫森方法：遞推公式1670 年前后、牛頓提出一個(gè)求方程之根的法，而且就方程 x^3-2x-5=0 解釋了他的方法。他的解釋從下面的個(gè)觀察開始：根 x 近似地等于 2。于是他寫出 x=2+p，并用 2＋p 代替原方程的 x，而得到了一個(gè)關(guān) p 的方程。這個(gè)新方程算出來是因 x 接近于 2，所以 p 很小，而他就略去了 p^3 和 6p^2 來估計(jì) p。這就給了他 p 的方程 10p-1=0，即 p=1/10。這當(dāng)然不是一個(gè)準(zhǔn)確解但是，給了牛頓關(guān)根的新的更好的近值：x=2.1。然后牛頓就重復(fù)這個(gè)程，令 x=2.1＋q，代入原方程以后又給出了一個(gè)關(guān) q 的方程，近似地解這個(gè)方程，又他的近似解精確化，于是得到 q 的估計(jì)為-0.0054，所以 x 的下一個(gè)近似值是 2.0946。盡管如此，我們怎么能確定個(gè)過程會(huì)收斂于 x 呢？讓我們更仔細(xì)地考察這個(gè)方法。線和收斂性牛頓的法可以從幾何上用數(shù) f 的圖像來解釋，雖然牛頓本人沒有這樣做。f（x）=0 的每一個(gè)根 x 都對應(yīng)于函數(shù) y=f（x）的曲線和 x 軸的一個(gè)交點(diǎn)。如果從根 x 的一個(gè)近似值 a 開始，而且和上面做的一樣，設(shè) p=x- a，于是可以用 a+p 代替 x 而得到一個(gè)新的函數(shù) g（p），也就是說把原點(diǎn)（0，0）有效地移到了（a，0）處。然后把 p 的所有高次冪都略去，只留下常項(xiàng)和線性項(xiàng)，這樣得到了函數(shù) g 的最佳的線性逼近 —— 從幾何上說，這就是 g 在點(diǎn)（0，g（0））處的切線。這樣，對于 p 所得到的近似值就是函數(shù) y 在點(diǎn)（0，g（0））處的切線與 x 軸的交點(diǎn)。再在橫坐標(biāo)上一個(gè) a，也就是讓原點(diǎn)回到原來的（0，0）處，這樣 a＋p 就給出了 f 的根的新近似值。這就是牛頓的方鬼國為切線法的原因。頓方法從上圖可以到，再作一次切線逼近，如果曲線 y=f（x）與 x 軸的交點(diǎn)在 a 點(diǎn)以及 f 在點(diǎn)（a，f（a））處的切線與 x 軸的交點(diǎn)（即上圖中的橫坐為 a+p 的點(diǎn)，即根的近似值）之，則第二次的近似（即 a＋p＋q）肯定比第一次的近值 a＋p 好（這里稱 a 為根的零次近似）?；氐脚?的例子，可以看到頓選取 a=2 并不是上面所說的情。但是從下一個(gè)近值 2.1 開始，以下所有的近似值都是這個(gè)情況了。幾何上看，如果點(diǎn)a，f（a））位于 x 軸的上方，而且 y=f（x）的曲線在凸部與 x 軸相交，或者點(diǎn)（a，f（a））在 x 軸的下方，而且 y=f（x）曲線在凹部與 x 軸相交，就會(huì)出現(xiàn)這種有的情況。初始的逼（即零次近似）的擇顯然是很重要的而且提出了微妙的曾想到的問題。如我們考慮復(fù)多項(xiàng)式復(fù)根，這就更加清了。牛頓的方法很易適應(yīng)這個(gè)更廣泛背景。設(shè) z 是一個(gè)復(fù)多項(xiàng)式的復(fù)根而 z_0 是初始的逼近，于是牛頓法將給出一個(gè)序列 z_0，z_1，z_2…… 它可能收斂于 z，也可能不收斂。我們定義根 z 的吸引區(qū)域?yàn)檫@樣的初始逼近 z_0 的集合，使得所得到的序列確蛫收于 z，并且記這個(gè)區(qū)域?yàn)?A（z）。怎樣來決定 A（z）呢？第一個(gè)問這問題的人是凱萊，間是 1879 年。他注意到，對于次多項(xiàng)式，這個(gè)問是很容易的，但當(dāng)數(shù)為 3 或者更大時(shí)，問題就很困難。例如多項(xiàng)式 z^2-1 的根 ±1 的吸引區(qū)域分別是復(fù)平面上以鉛直軸界的兩個(gè)半平面，是 z^3-1 的三個(gè)根 1，w，w^2 的相應(yīng)的吸引區(qū)域就是極復(fù)雜的合。這些集合是由利亞在 1918 年描述的，而現(xiàn)在為分形集合。遞推式牛頓方法的每一段都會(huì)產(chǎn)生一個(gè)新程。但是拉夫森指實(shí)際上并無必要。就特殊的例子給出每一步都可以使用單一一個(gè)公式。但他的基本的觀察可一般地適用，導(dǎo)出以用于每一個(gè)情況一般公式，而這個(gè)式用切線的解釋就以容易得出。事實(shí)，曲線 y=f（x）在 x 坐標(biāo)為 a 處的切線方程是它與 x 軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是 a-f（a）/f'（a）。我們現(xiàn)在所說的頓-拉夫森方法就是指的這個(gè)公式。我從一個(gè)初始逼近 a_0=a 開始再用這個(gè)遞推公式得出樣就得到一個(gè)逼近序列，在復(fù)情況下也就是前面說的 z_0，z_1，z_2，…。作為一個(gè)例子，考慮函數(shù) f（x）=x^2-c。這時(shí)，牛頓方法就出 c 的平方根根號 c 的一串近似值，遞推公式現(xiàn)在了在上面的一般公中把 f 換成 x^2-c 即得。這個(gè)近似平方根的求，公元 1 世紀(jì)的亞歷山大里亞的海就已經(jīng)知道。本文自微信公眾號：老說科學(xué) （ID：LaohuSci），作者：我才是老?
IT之家 1 月 17 日消息，榮耀與德地圖在安舉行戰(zhàn)合作簽約式暨聯(lián)合驗(yàn)室揭牌式，雙方布將在智出行服務(wù)智慧生活務(wù)、室內(nèi)航、穿戴航等領(lǐng)域展深入合，共同構(gòu)智慧服務(wù)生態(tài)，共打造更加富的個(gè)人服務(wù)體驗(yàn)本次合作，高德地將基于數(shù)地圖內(nèi)容導(dǎo)航和位服務(wù)等，助提升榮 AI 的預(yù)測和學(xué)能力。高地圖副總董振寧表，搭載著耀 Magic Live 平臺級 AI 與高德地位置服務(wù)座能力的耀智慧服產(chǎn)品會(huì)面消費(fèi)者提更省電、準(zhǔn)確豐富場景化服。此外，德下一代航效果還先適配了耀折疊屏并和榮耀同構(gòu)建室、可穿戴多種終端景，為用提供全新能新體驗(yàn)榮耀終端限公司研管理總裁斌表示，為榮耀面未來的戰(zhàn)支點(diǎn)，MagicOS 將立足于四大根技，保持開創(chuàng)新，不與合作伙進(jìn)行聯(lián)合創(chuàng)，推進(jìn)慧服務(wù)生開枝散葉IT之家了解到，隨戰(zhàn)略合作展開，雙還將在生服務(wù)方向開更多合，利用雙的技術(shù)服與資源，建優(yōu)質(zhì)生服務(wù)的智新體驗(yàn)，用戶無論時(shí)何地，能感受到維度的智型服務(wù)?
