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本文來(lái)自信公眾號(hào)返樸 （ID：fanpu2019），作者：張和持久以來(lái)，們都將“”等同于實(shí)數(shù)”?。實(shí)數(shù)就同當(dāng)空烈一般，統(tǒng)著整個(gè)數(shù)世界。文復(fù)興時(shí)期代數(shù)學(xué)家了解方程引入了復(fù)?。?但便是復(fù)數(shù)樣自然的造，也歷了幾百年被數(shù)學(xué)界接受。實(shí)的地位似是不可置的。到了 19 世紀(jì)末 20 世紀(jì)初，學(xué)家們驚地發(fā)現(xiàn)，含??的備域不一是??，有可能??進(jìn)數(shù)?。?就像星星，??更像是亮：月亮然是夜空最為明亮，也時(shí)常過(guò)群星的輝，但是星的存在提示著我，這個(gè)宇中有更加遠(yuǎn)的空間待探索。帝創(chuàng)造了數(shù)，其他是人類的作?！?利奧波德克羅內(nèi)克Leopold Kronecker）進(jìn)數(shù)的引羊患動(dòng)?進(jìn)數(shù)的實(shí)不是一符號(hào)，而代表某一素?cái)?shù)。有數(shù)域可以充為實(shí)數(shù)，但是這擴(kuò)充并不唯一的。面所說(shuō)的數(shù)，就是對(duì)于任意數(shù)，都可擴(kuò)充為進(jìn)域。實(shí)數(shù)自于有理的小數(shù)展，而進(jìn)數(shù)自有理數(shù)進(jìn)展開(kāi)。然小數(shù)也不同進(jìn)制寫(xiě)法，但這與進(jìn)數(shù)質(zhì)上是不樣的：小展開(kāi)默認(rèn)是逐次變，而進(jìn)展則默認(rèn)逐變“小”我們將在文中解釋個(gè)問(wèn)題。下圖所示實(shí)數(shù)與進(jìn)的地位是同的。實(shí)和進(jìn)數(shù)都含有理數(shù)他們之間并列的關(guān)首次引入數(shù)的是德數(shù)學(xué)家亨爾（Kurt Hensel），而在他之的庫(kù)默爾Ernst Kummer）已經(jīng)隱含地領(lǐng)胡過(guò)了這種妙的數(shù)字如同庫(kù)默一樣，亨爾的原始作也很難懂。他的章發(fā)表于 1897 年，此時(shí)域”的概才僅僅誕了 4 年：1893 年，韋伯（Heinrich Martin Weber）第一次定義了，它是一帶有加法乘法兩種算的集合也可以寫(xiě)，滿足加和乘法的合律加法乘法的交律加法和法都有單元（一般加法單位寫(xiě)作，乘單位元寫(xiě)）每個(gè)元有加法逆，也就是個(gè)非零元有乘法逆，也就是法對(duì)于加滿足分配我們熟悉有理數(shù)和數(shù)都是域韋伯之所這么定義是想把（是模剩余，比如說(shuō)周七天的數(shù)就是）納入進(jìn)來(lái)如果去掉法逆元的件，上述義就變成所謂的交環(huán)，最典的例子就整數(shù)環(huán)。論的問(wèn)題常是關(guān)于，如果在允許非零有乘法逆就得到了這個(gè)構(gòu)造作取的分域。由于多中得到結(jié)論都能接套到上例如中首系數(shù)為的項(xiàng)式存在理根當(dāng)且當(dāng)它存在數(shù)根），以我們通把它們放一起考慮但是這兩對(duì)象的性都很“糟”。例如我們想要斷對(duì)于某對(duì)非零的是否有有數(shù)解。這上去根本從下手。是如果想判斷有沒(méi)實(shí)數(shù)根，很簡(jiǎn)單了只要中有個(gè)，就存實(shí)數(shù)解，之則不存。假如，么就是一實(shí)數(shù)解。是如果，么對(duì)于任實(shí)數(shù)，都定，所以存在實(shí)數(shù)。很顯然存在有理解，那就定存在實(shí)解，畢竟但是反過(guò)并不一定立。那實(shí)解的存在對(duì)有理數(shù)有幫助嗎答案是肯的，為此們需要定希爾伯特號(hào)（是“者”，是并且”）要解決有解的判斷題，需要于每個(gè)素定義希爾特符號(hào)。個(gè)定義同初等，但稍微麻煩些，有興的讀者可自行查閱考文獻(xiàn) [1]，我們之后不敏山及這個(gè)定本身。重在于，這定義是可直接計(jì)算，所以很便判斷。學(xué)家們證了一個(gè)驚的定理：在有理數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)所有都成。這個(gè)定的確非常便，但它出了一個(gè)加深刻的題：既然以解釋為斷是否有數(shù)解，那否也對(duì)應(yīng)一個(gè)的擴(kuò)，而且當(dāng)僅當(dāng)方程這個(gè)域中在解呢？果的確如，那似乎們就能把理數(shù)解看是這些所域中解的交集”。然，交集說(shuō)法并不確。就結(jié)?而言，我要尋找的應(yīng)的正是數(shù)域，這所有的和起，可以為對(duì)應(yīng)的局部域”而則是“體域”。面的定理實(shí)是在講部與整體對(duì)應(yīng)。這起來(lái)似乎夷所思，明域變大，卻從整變成了局。要解釋一點(diǎn)，我要先了解些幾何學(xué)類比整數(shù) ?與多項(xiàng)式皮山早在象環(huán)論誕之前，數(shù)家們就注到數(shù)論與何的相似處。具體說(shuō)，與作環(huán)的性質(zhì)常相似，如這兩個(gè)都能做帶除法，因它們都是幾里得整。這里是為系數(shù)的項(xiàng)式環(huán)，個(gè)系數(shù)域算換成別域也會(huì)有多相似之，但是我這里需要到一些分的方法，以復(fù)數(shù)最方便。順著，它們分式域和很相似。是指允許零多項(xiàng)式除法。的可以看作上的亞純數(shù)：它們分母在個(gè)點(diǎn)不一定為零，所這些函數(shù)有趨于無(wú)的極點(diǎn)，是這些點(diǎn)是離散的很容易處。對(duì)于而，局部顯就是指其的任何一點(diǎn)。這些純函數(shù)在何點(diǎn)附近展開(kāi)成洛級(jí)數(shù)，就同全純函（處處解）能在任點(diǎn)展開(kāi)成勒級(jí)數(shù)一，只不過(guò)朗級(jí)數(shù)允存在這樣項(xiàng)。例如在點(diǎn)附近可以展開(kāi)形式。在何點(diǎn)處我都能定義純函數(shù)的為其洛朗開(kāi)最左邊一項(xiàng)的次。比如上這個(gè)函數(shù)這一點(diǎn)的就是。類的展開(kāi)也以在中進(jìn)。一般來(lái)對(duì)于某個(gè)理數(shù)，我都能將它作的形式其中是互相同的素，是整數(shù)可正可負(fù)定義。我有沒(méi)有辦把展開(kāi)成似的形式？答案是定的，你以形式化對(duì)做進(jìn)展為什么可這樣寫(xiě)呢對(duì)于一般實(shí)數(shù)除法商的小數(shù)后的數(shù)字越來(lái)越長(zhǎng)因?yàn)槲覀?認(rèn)數(shù)字的數(shù)越靠后其“大小就越小，以我們才寫(xiě)出這樣無(wú)窮小數(shù)但是要做上面這樣展開(kāi)，其是默認(rèn)的列會(huì)越來(lái)“小”，們先寫(xiě)，樣只需要，最后整移動(dòng)一位計(jì)算如下心的讀者發(fā)現(xiàn)，這的除法之以每一步能算出商一位數(shù)字依賴于是這個(gè)事實(shí)所以對(duì)于是素?cái)?shù)的，不是域也就不能樣展開(kāi)。樣就算出現(xiàn)在完全靠類比，們得到了樣的展開(kāi)。對(duì)任意數(shù)，我們這樣的展為進(jìn)展開(kāi)這樣的展與小數(shù)的制表示非相似，這也解釋了的名字。這純粹是式上的。們還需要釋三個(gè)問(wèn)：有理函在某點(diǎn)的朗展開(kāi)顯與“局部有關(guān)，但有理數(shù)在數(shù)處的進(jìn)開(kāi)為什么叫局部？什么也是局部？究要怎么嚴(yán)定義進(jìn)展？也就是，如何定？為什么局部？我需要把中點(diǎn)與聯(lián)系來(lái)，這樣能知道，于來(lái)說(shuō)，究竟是什意思。為我們需要想的概念對(duì)于一個(gè)換環(huán)，理是一個(gè)滿以下性質(zhì)真子集：于加減法閉；，也是說(shuō)的元乘上任意的元之后結(jié)果仍在。這個(gè)定原本是庫(kù)爾（Ernst Eduard Kummer）與戴德金禮記Julius Wilhelm Richard Dedekind）為了解決代數(shù)域中素分解不成而提出的這也是為么叫做理：一個(gè)非“理想”子集），數(shù)幾何學(xué)們卻找到它的幾何義。我們來(lái)表示中含的最小想（也就說(shuō)由生成理想）。是一個(gè)極理想，也是說(shuō)，它是任何理的真子集實(shí)際上，于中的任點(diǎn)，都是大理想。反過(guò)來(lái)，的所有極理想，全形如。所的點(diǎn)與的大理想一對(duì)應(yīng)。這我們就能慮的極大想，來(lái)當(dāng)它的點(diǎn)了而的極大想正是所形如的理。這樣簡(jiǎn)的類比其還不能稱“幾何”這要等到羅滕迪克Alexander Grothendieck）創(chuàng)造性地提出型理論，究的代數(shù)何與研究數(shù)論才能正統(tǒng)一在起。在這理論中，的素理想本文中不要這個(gè)概）被稱為，而極大想則是閉。這套理需要更加深的背景識(shí)，本文不做介紹?？傊?面我們用的洛朗展和進(jìn)展開(kāi)都是對(duì)應(yīng)個(gè)環(huán)的閉。如果接這樣的設(shè)，你就會(huì)現(xiàn)“局部的說(shuō)法沒(méi)么問(wèn)題。么在中的開(kāi)，也就小數(shù)展開(kāi)它算什么？它其實(shí)對(duì)應(yīng)有理數(shù)在無(wú)窮點(diǎn)的洛朗開(kāi)。如圖示img復(fù)平面上的何點(diǎn)都可對(duì)應(yīng)于球上的某點(diǎn)只需要連球的頂端復(fù)平面上點(diǎn)，線段定會(huì)交于面上的一。這樣就立了復(fù)平與球面（了頂端一）的一一應(yīng)。而如在復(fù)平面以任何方接近無(wú)窮轉(zhuǎn)換到球上，就一會(huì)逼近頂。這樣我就可以把個(gè)球面當(dāng)是的擴(kuò)充稱為黎曼面，記作現(xiàn)在要對(duì)理函數(shù)在窮遠(yuǎn)點(diǎn)處洛朗展開(kāi)其實(shí)就是里的有理數(shù)看作是的函數(shù)，后在處作朗展開(kāi)。就是因?yàn)?樣的類似，我們上定義的判式才寫(xiě)作定義為了義，我們先得知道什么。從輯上來(lái)說(shuō)第一個(gè)定的應(yīng)該是然數(shù)，然才是, 但是這每一是怎么來(lái)呢？是由亞諾公理義的，也是從開(kāi)始規(guī)定每個(gè)都有一個(gè)繼數(shù)，所可以使用學(xué)歸納法隨后我們得到，該么辦呢？觀來(lái)看，義整數(shù)允了負(fù)數(shù)的在。但是數(shù)究竟是么？比如，它其實(shí)，也可以。所以如要用來(lái)定的話，一整數(shù)實(shí)際是中的一等價(jià)類，就是當(dāng)時(shí)我們規(guī)定價(jià)關(guān)系。樣就可以義為所有價(jià)類構(gòu)成集合。當(dāng)是的子集因?yàn)樽匀?相當(dāng)于是個(gè)等價(jià)類類似的方可以構(gòu)造因?yàn)樵试S數(shù)存在，且如果，有，所以們定義，中當(dāng)時(shí)。整數(shù)也可等同于等類，所以是的子集上面兩次張，都是許了某種的運(yùn)算，后通過(guò)取價(jià)類的方來(lái)構(gòu)造的那么是允了什么運(yùn)呢？答案取極限。事后諸葛的角度來(lái)，如下序的極限是但是現(xiàn)在們只有，以我們只說(shuō)，這個(gè)列在中是收斂的。果讓所有這樣的序都收斂到個(gè)數(shù)，那必就是了但并不是有序列都斂，比如以我們需對(duì)序列加限制，然取某種等類。限制的序列被為柯西列定義如下對(duì)于有理列，滿足于任意，存在一個(gè)使得只要就有。直來(lái)看，就要求序列尾部擺動(dòng)于。不難明，收斂有理數(shù)的列都是柯列，所以可以說(shuō)是收斂序列自然推廣當(dāng)然兩個(gè)西列有可收斂于同個(gè)數(shù)，所我們還需等價(jià)關(guān)系且僅當(dāng)。樣所有柯列組成的合中的所等價(jià)類就義為。所的有理數(shù)等同于是數(shù)柯西列等價(jià)類，以也是的集。這也以解釋一對(duì)外行而難以解答問(wèn)題。其是柯西列而則是柯列。他們差是序列趨于，所兩個(gè)柯西等價(jià)。不我們要注一點(diǎn)，柯列的定義賴于。當(dāng)這里的的義是平常義上的絕值。絕對(duì)表示兩個(gè)之間的距。在中，越來(lái)越小。但是我看到，在面的進(jìn)展中，越來(lái)小的卻是這就提示們，應(yīng)該改這個(gè)距的定義，們暫且把種新距離為，稱為度量。我需要越大就越小，以一個(gè)自的定義是其實(shí)底數(shù)一定要是取任何大的數(shù)都可（他們決的柯西列完全一致），之所取只是為方便。當(dāng)，距離并是隨便取，函數(shù)需滿足三條質(zhì)才能叫度量函數(shù)這其實(shí)定了域上的數(shù)）：當(dāng)僅當(dāng)；；也就是三形法則，邊之和不于第三邊這樣只要距離函數(shù)就能定義西列，就定義新的。這個(gè)過(guò)被稱為完化，因?yàn)?們稱任何西列都收的域?yàn)橥?域?？偨Y(jié)下，就是的絕對(duì)值量完備化到，而的度量完備就定義為就是我們要的進(jìn)數(shù)。我們甚可以對(duì)定類似的距，得到的備化就是式洛朗級(jí)域和。所形式洛朗數(shù)，就是如一個(gè)洛級(jí)數(shù)的表式，不過(guò)用處理收問(wèn)題。則過(guò)洛朗展，嵌入到些形式洛級(jí)數(shù)域中為子集。完備化不我們并不稱為局部，這是別原因了，本文無(wú)關(guān)我們可以到，這些入關(guān)系與數(shù)非常相。既然任給一個(gè)度就能定義西列，那了絕對(duì)值進(jìn)度量之，還有別方法定義離嗎？答是沒(méi)有。中，任意個(gè)滿足上三條性質(zhì)度量，都價(jià)于絕對(duì)或者是某進(jìn)度量。就是說(shuō)，上我們提的就是所的完備化案了。我平常計(jì)算數(shù)的時(shí)候并不會(huì)總考慮柯西，反而是數(shù)展開(kāi)更用；同樣實(shí)際計(jì)算數(shù)的時(shí)候更常用進(jìn)開(kāi)。運(yùn)用上構(gòu)造，們可以證當(dāng)且僅當(dāng)程在中有。所以我開(kāi)篇提到定理，就以表述為在中有解且僅當(dāng)其所有及中解。我們然而然會(huì)，是不是意給一個(gè)項(xiàng)式方程其存在有解的條件等同于存實(shí)數(shù)解和有進(jìn)數(shù)解答案是否的，有不多項(xiàng)式不立這個(gè)結(jié)。這激發(fā)了數(shù)學(xué)家的好奇心究竟哪些項(xiàng)式有類的性質(zhì)呢我們把這方向稱為部 — 整體原則，到今天，所催生的知識(shí)還在源不斷滋著整個(gè)數(shù)的研究。現(xiàn)實(shí)有什關(guān)系嗎？確，數(shù)論距離現(xiàn)實(shí)界非常遙的一個(gè)學(xué)。近些年，有部分論被應(yīng)用密碼學(xué)。要直接應(yīng)于物理，描述現(xiàn)實(shí)界，并被多數(shù)物理家所接受這樣的工目前還不。這從邏上其實(shí)是奇怪的。完備化只和，但為么我們今的物理理全都是用其代數(shù)閉描述的呢進(jìn)數(shù)與實(shí)從邏輯上沒(méi)有任何下之分，們都可以導(dǎo)數(shù)，做分，大多你能想到分析工具都能平等用到它們上。那為么我們生在實(shí)數(shù)世，而不是數(shù)世界呢還真有人到了這種能性。弦中，弦掃的世界面用一維復(fù)形（也就黎曼面）述的，但如果把黎面換成是幾何學(xué)中應(yīng)的概念也能創(chuàng)造一套弦論稱為進(jìn)弦。目前來(lái)，這方面研究成果處于玩具段。不過(guò)這并不影我們的好心。畢竟我們仰望空，只是為群星很麗。參考獻(xiàn)[1] 加藤和也黑川信重齋藤毅.數(shù)論 I——Fermat 的夢(mèng)想和類猩猩論.[2] Neal Koblitz, p-adic Numbers, p-adic Analysis, and Zeta-Functions.