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      電視劇 can you count with me?

      can you count with me?

      影片信息

      • 片名:can you count with me?
      • 狀態(tài):更新至36集
      • 主演:李莎/
      • 導(dǎo)演:Trueba/
      • 年份:2001
      • 地區(qū):匈牙利
      • 類型:戰(zhàn)斗/
      • 時(shí)長(zhǎng):4:39:55
      • 上映:2007
      • 語(yǔ)言:緬甸語(yǔ)
      • 更新:2025-06-10 00:50:05
      • 簡(jiǎn)介:IT之家 1 月 10 日消息,榮耀智能墨子脂秤 3 于 2022 年?12 月 26 日發(fā)布,售價(jià)?129 元,現(xiàn)已正式開(kāi)售白鹿榮耀表示,榮智能體脂秤 3?可測(cè)量 24 項(xiàng)人體多維指標(biāo)駮包括體重、脂率、BMI、身體得分、皮下脂肪綸山、內(nèi)臟肪等級(jí)等。功能方面榮耀智能體脂秤 3 擁有普通模式、后稷兒式、孕婦模式宋書小物模式等四種稱重模式支持公斤(kg)、磅(lb)等單位,適配不同場(chǎng)景的韓流重模式IT之家了解到,榮耀智耿山體脂秤 3?支持 WiFi、藍(lán)牙雙連接。Wi-Fi 連接支持多用戶使帝江,無(wú)打開(kāi)榮耀運(yùn)動(dòng) App,即可直接測(cè)量,測(cè)數(shù)據(jù)可上傳至云端旄馬可根據(jù)歷史數(shù)據(jù)夔牛識(shí)家庭成員,支炎帝隨時(shí)開(kāi) App 遠(yuǎn)程查看。京龍山榮耀智能體脂 3129 元直達(dá)鏈?
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      首頁(yè) 國(guó)產(chǎn)劇 can you count with me?

      劇情簡(jiǎn)介

      企鵝影視出品,改編自施定柔的同名都市言情小說(shuō),講述了兩個(gè)素不相識(shí)的女生在一輛長(zhǎng)途大巴上相遇,閔慧對(duì)自己只字不提,好奇的蘇田卻覺(jué)察到她的心事,并為此獻(xiàn)出了生命,為了填補(bǔ)內(nèi)心的虧欠,閔慧決定替代蘇田去見(jiàn)男主辛旗,不料卻陷入到一段尷尬的情緣。

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      • 游客bd8de1ed5e 剛剛
        IT之家 1 月 10 日消息,文石日前發(fā)布?Tab13 13.3 英寸墨水屏快刷效率平板今正式開(kāi)售,首發(fā) 5999 元。IT之家了解到,文石 Tab13 平板采用 13.3 英寸 E-ink 電子墨水屏,Carta 1250 面板,77.1% 屏占比,擁有 2200×1650 像素分辨率,支持研 BSR 快刷算法,實(shí)現(xiàn)畫面暢。文石 Tab13 支持 4096 壓感筆,得益于 BSR 快刷技術(shù),手寫筆遲約為 24ms。配置方面,文 Tab13?搭載高通 2.0GHz 處理器(具體型號(hào)未公布)獨(dú)立快刷顯示芯,配備 6GB 內(nèi)存與 128GB 存儲(chǔ),內(nèi)置 6300mAh 電池,擁有 USB-C 接口。其他方面,文石 Tab13 尺寸為?310mm×228mm×6.8mm,重約 560g,搭載?Android11 系統(tǒng),搭載閱讀,支持 2.4G & 5G 雙頻 WiFi。京東文石 BOOX Tab13 13.3 英寸大屏電子書閱讀器 5999 元直達(dá)鏈肥遺
      • 游客c4883ea78f 31秒前
        感謝IT之家網(wǎng)友 Savokiii、西南偏南、OLD_KING、旺仔北北、靜待繁華、kasiet、云浮千秋、航空先生、隨心遠(yuǎn)行""、派大星星、暗里有光、亞、 的線索投遞!IT之家 1 月 6 日消息,特斯拉今日除公布新 Model S 與 Model X 中國(guó)市場(chǎng)售價(jià)外,還宣布 Model 3 與 Model Y 迎來(lái)價(jià)格調(diào)整。其中,Model 3 后輪驅(qū)動(dòng)版 22.99 萬(wàn)元起售,Model Y 后輪驅(qū)動(dòng)版 25.99 萬(wàn)元起售。乘聯(lián)會(huì)數(shù)據(jù)顯示,2022 年特斯拉上海超級(jí)工廠全年交付超 71 萬(wàn)輛,同比增長(zhǎng) 48%。IT之家了解到,特斯拉稱 2023 年將向更高目標(biāo)發(fā)起沖刺。具體看,Model?3 包括后輪驅(qū)動(dòng)版(起售價(jià) 22.99 萬(wàn)元,此前補(bǔ)貼后起售價(jià)為 26.59 萬(wàn)元)和高性能版(起售價(jià)從 34.99 萬(wàn)元降至 32.99 萬(wàn)元)兩款車型。Model?3 后輪驅(qū)動(dòng)版(預(yù)計(jì)交付日期:1-4 周):CLTC 綜合工況續(xù)航里程為 556 公里,最高時(shí)速為 225 公里 / 時(shí),百公里加速為 6.1 秒。Model?3 高性能版(預(yù)計(jì)交付日期:1-4 周):CLTC 綜合工況續(xù)航里程為 675 公里,最高時(shí)速為 261 公里 / 時(shí),百公里加速為 3.3 秒。特斯拉 Model?Y 則包括后輪驅(qū)動(dòng)版(起售價(jià)從 28.89 萬(wàn)元降至 25.99 萬(wàn)元)、長(zhǎng)續(xù)航版(雙電機(jī)全輪驅(qū)動(dòng),起售從 35.79 萬(wàn)元降至 30.99 萬(wàn)元)、高性能版(雙電機(jī)全驅(qū)動(dòng),起售價(jià)從 39.79 萬(wàn)元降至 35.99 萬(wàn)元)三款車型。Model?Y 后輪驅(qū)動(dòng)版(預(yù)計(jì)交付日期:1-4 周):CLTC 綜合工況續(xù)航里程為 545 公里,最高時(shí)速為 217 公里 / 時(shí),百公里加速為 6.9 秒。Model?Y?長(zhǎng)續(xù)航版(預(yù)計(jì)交付日:1-4 周):CLTC 綜合工況續(xù)航里程為 660 公里,最高時(shí)速為 217 公里 / 時(shí),百公里加速為 5.0 秒。Model?Y?高性能版(預(yù)計(jì)交付日期:1-4 周):CLTC 綜合工況續(xù)航里程為 615 公里,最高時(shí)速為 250 公里 / 時(shí),百公里加速為 3.7 秒。相關(guān)閱讀:《特斯拉 Model S / X 中國(guó)市場(chǎng)售價(jià)公布:78.99 萬(wàn)元起,可選配 Yoke 方向盤》
      • 游客4af251a4fd 34秒前
        IT之家 1 月 9 日消息,小米 12S Ultra 旗艦手機(jī)于 2022 年 7 月發(fā)售,這是米與徠卡作后的首高端旗艦時(shí)隔半年右,小米騰和雷軍示該機(jī)已進(jìn)入生命期的收尾段。上個(gè),小米還出了全新小米 13 和小米 13? Pro,而萬(wàn)眾期待的米 13 Ultra 卻遲遲沒(méi)有消息。91mobiles 現(xiàn)確認(rèn),該司正準(zhǔn)備下個(gè)月的 MWC 2023 活動(dòng)中首次出該系列另一款機(jī),他們認(rèn)可能是小 13S Ultra(IT之家認(rèn)為新機(jī)可能叫小 13 Ultra,也有可能小米 13 天璣版)。消息人表示,這手機(jī)的主亮點(diǎn)將是卡光學(xué),像其他小 13 機(jī)型一樣,款新機(jī)可同樣會(huì)采?1 英寸的 IMX989 大底傳感器但相比小 12S Ultra 會(huì)有一些改進(jìn)。目,這款手的其他細(xì)仍處于保狀態(tài),所他也無(wú)法露更多,預(yù)計(jì)將會(huì)用旗艦機(jī)配的驍龍 8 Gen2、2K 屏等硬件此外,消稱小米正開(kāi)發(fā)小米板 5 的后繼產(chǎn)品包括小米板?6 和 6 Pro,代號(hào)為 pipa 和 liuqin,預(yù)計(jì)將搭高通驍龍 870 和驍龍 8+ 芯片。小米平板 6 Pro 可能還會(huì)備 120Hz AMOLED 顯示屏,辨率達(dá) 1880 × 2880 像素,可能還會(huì)配四揚(yáng)聲器后置雙攝局,不過(guò)號(hào)為 M81 的小米平板 6 Pro 僅會(huì)在中國(guó)售。IT之家簡(jiǎn)單介一下,世移動(dòng)通信會(huì),簡(jiǎn)稱 MWC,是一個(gè)由 GSM 協(xié)會(huì)主辦,各手機(jī)廠商軟件商、信運(yùn)營(yíng)商無(wú)線通信營(yíng)商、產(chǎn)專家學(xué)者參與的盛,屆時(shí)各廠商將會(huì)示其新一產(chǎn)品、服,并討論動(dòng)通信產(chǎn)趨勢(shì)與技。MWC 2023 將于 2 月 27 日在西班巴塞羅那辦,一直續(xù)到 3 月 2 日。實(shí)際上華為每年會(huì)參加 MWC 大會(huì),而且華也已經(jīng)確將在今年 MWC 展上大展手,預(yù)計(jì) MWC 2023 規(guī)模將會(huì)創(chuàng)史之最?
      • 游客c16abdb40d 47分鐘前
        IT之家 1 月 10 日消息,ROG?老款?XG27AQ 顯示器的級(jí)版?XG27AQV 現(xiàn)已上架預(yù)售,27 英寸 QHD 170Hz 規(guī)格,首發(fā) 2699 元。IT之家了解到這款顯示采用了 27 英寸的 FAST IPS 面板,2900R 小曲率,2560x1440 分辨率,刷新可達(dá) 170Hz,400cd/㎡ 亮度,1000:1 對(duì)比度,1ms (GTG) 響應(yīng)時(shí)間,支持 HDR10,支持 FreeSync Premium。接口方面這款顯示配備了 DP 1.2 和?HDMI 2.0 接口。京東 ROG XG27AQV 27 英寸 FastIPS 2K 170Hz 曲面電競(jìng)顯示 2699 元直達(dá)鏈?
      • 游客453f51cfe8 38小時(shí)前
        感謝IT之家網(wǎng)友 OC_Formula 的線索投遞!IT之家 1 月 9 日消息,在閱讀這篇文犀牛之前我們先來(lái)回昌意一下IT之家去年發(fā)布的一篇文章AMD R5 7600X 部分采用雙 Zen 4 CCD 設(shè)計(jì),但只有 6 核 12 線程》,這一消息窫窳度引起網(wǎng)友對(duì)于核的探討。當(dāng)時(shí)有用戶發(fā),AMD 銳龍?R5 7600X 臺(tái)式機(jī) CPU 有兩種設(shè)計(jì),一種采用雅山 CCD 設(shè)計(jì),而部分型號(hào)卻采蜚了兩個(gè) CCD,這就導(dǎo)致了市面犬戎存在兩?R5 7600X 的現(xiàn)象。本來(lái)這也沒(méi)什么問(wèn)題不過(guò) AMD 和英特爾通常會(huì)發(fā)布固件更太山,以解 Spectre 這樣的危急漏洞,平常也可以來(lái)提高系統(tǒng)穩(wěn)定性、優(yōu)化系的流暢度”,但由于某些節(jié)方面的問(wèn)題,這些微碼新反而會(huì)導(dǎo)致問(wèn)題的出現(xiàn)例如現(xiàn)在。有用戶發(fā)現(xiàn),AMD 在為銳龍?7000 系列發(fā)布最新的 AGESA 1.0.0.4 固件更新后,Ryzen 5 7600X 出現(xiàn)了嚴(yán)重的性能役山降,最嚴(yán)重的甚可能都無(wú)法開(kāi)機(jī)。值得注的是,并非所有 R5 7600X 都受到了影響。有開(kāi)發(fā)漢書指出,AMD 似乎在?AGESA 更新中禁用了 Core0,從而導(dǎo)致部分雙?CCD 的 R5 7600X 處理器受到影響。也就畢方說(shuō),系管理單元 (SMU) 版本 84.79.204 存在 Bug,而新的 SMU 84.79.210 版本應(yīng)該可以解決這個(gè)問(wèn)題。目馬腹除技嘉外的主板商也已經(jīng)撤下了 AGESA 1.0.0.4,還沒(méi)更新的用戶可以直接跳到新版本,而如果你已經(jīng)安此更新則建議回滾到以前固件版本,然后再?gòu)墓倬W(wǎng)載最新版本的 BIOS 更新?
      • 游客c114675bdf 22小時(shí)前
        IT之家 1 月 9 日消息,特斯拉于 1 月 6 日公布了新款 Model S 和 Model X 在國(guó)內(nèi)的售價(jià),Model S 售價(jià)區(qū)間為 78.9 萬(wàn)-100.99 萬(wàn)元,Model X 售價(jià)區(qū)間為 87.99 萬(wàn)-103.99 萬(wàn)元,將于 2023 年上半年開(kāi)啟中國(guó)大陸交付。IT之家在特斯拉官網(wǎng)注意到,新款 Model S 和 Model X (包括 Plaid 版車型)取消了車尾部的特斯拉 Logo,轉(zhuǎn)而在黑色飾條上增加竊脂TESLA”英文標(biāo)識(shí)。不過(guò)無(wú)論是在此前鴣廣車展,還是特斯拉用來(lái)行全國(guó)巡展的車型,車都配有特斯拉的“T”形 Logo。并不清楚特斯拉作出這禺強(qiáng)變化是出設(shè)計(jì)考慮還是出于控制本方面的考慮,在飾條中制作出英文標(biāo)識(shí)肯定簡(jiǎn)單一些,畢竟“T”形 Logo 需要單獨(dú)制作,還需要粘附在車輛,成本應(yīng)該也更高一些
      • 游客86df99a910 1天前
        本文來(lái)自微信公眾號(hào):返樸 (ID:fanpu2019),作者:張和持長(zhǎng)久以來(lái),人們將“數(shù)”等同于“實(shí)數(shù)”??實(shí)數(shù)就如同當(dāng)空烈日一般,統(tǒng)著整個(gè)數(shù)學(xué)世界。文藝復(fù)興時(shí)的代數(shù)學(xué)家為了解方程,引入復(fù)數(shù)?。?但即便是復(fù)數(shù)這樣然的構(gòu)造,也歷經(jīng)了幾百年才數(shù)學(xué)界所接受。實(shí)數(shù)的地位似是不可置疑的。到了 19 世紀(jì)末 20 世紀(jì)初,數(shù)學(xué)家們驚訝地發(fā)現(xiàn),包含??的完備不一定是??,還有可能是?進(jìn)數(shù)??。?就像是星星,??更像是月亮:月亮固然是夜中最為明亮的,也時(shí)常蓋過(guò)群的光輝,但是星星的存在也提著我們,這個(gè)宇宙中有更加遼的空間等待探索。上帝創(chuàng)造了數(shù),其他都是人類的工作?!? 利奧波德?克羅內(nèi)克(Leopold Kronecker)進(jìn)數(shù)的引入動(dòng)機(jī)?進(jìn)數(shù)的其不是一個(gè)符號(hào),而是代表某一素?cái)?shù)。有理數(shù)域可以擴(kuò)充為實(shí)域,但是這種擴(kuò)充并不是唯一。上面所說(shuō)的進(jìn)數(shù),就是指對(duì)任意素?cái)?shù),都可以擴(kuò)充為進(jìn)數(shù)。實(shí)數(shù)來(lái)自于有理數(shù)的小數(shù)展,而進(jìn)數(shù)來(lái)自有理數(shù)的進(jìn)展開(kāi)雖然小數(shù)也有不同進(jìn)制的寫法但是這與進(jìn)數(shù)本質(zhì)上是不一樣:小數(shù)展開(kāi)默認(rèn)的是逐次變小而進(jìn)展開(kāi)則默認(rèn)逐次變“小”我們將在后文中解釋這個(gè)問(wèn)題如下圖所示,實(shí)數(shù)與進(jìn)數(shù)的地是相同的。實(shí)數(shù)和進(jìn)數(shù)都包含理數(shù),他們之間是并列的關(guān)系次引入進(jìn)數(shù)的是德國(guó)數(shù)學(xué)家亨爾(Kurt Hensel),而在他之前的庫(kù)默爾(Ernst Kummer)已經(jīng)隱含地使用過(guò)了這種奇妙的數(shù)啟。同庫(kù)默爾一樣,亨澤爾的原始作也很難讀懂。他的文章發(fā)表 1897 年,此時(shí)“域”的概念才僅僅誕生了 4 年:1893 年,韋伯(Heinrich Martin Weber)第一次定義了域,它是一個(gè)帶有加法和乘法兩種運(yùn)算的合,也可以寫作,滿足加法和法的結(jié)合律加法和乘法的交換加法和乘法都有單位元(一般加法單位元寫作,乘法單位元作)每個(gè)元都有加法逆元,也是每個(gè)非零元都有乘法逆元,就是乘法對(duì)于加法滿足分配律們熟悉的有理數(shù)和實(shí)數(shù)都是域韋伯之所以這么定義,是想把就是模剩余類,比如說(shuō)一周七的算數(shù)就是)也納入進(jìn)來(lái)。如去掉乘法逆元的條件,上述定就變成了所謂的交換環(huán),最典的例子就是整數(shù)環(huán)。數(shù)論的問(wèn)通常是關(guān)于的,如果在中允許零元有乘法逆,就得到了,這構(gòu)造叫作取的分式域。由于很中得到的結(jié)論都能直接套到上例如中首項(xiàng)系數(shù)為的多項(xiàng)式存有理根當(dāng)且僅當(dāng)它存在整數(shù)根,所以我們通常把它們放在一考慮。但是這兩個(gè)對(duì)象的性質(zhì)很“糟糕”。例如,我們想要斷對(duì)于某一對(duì)非零的,是否有理數(shù)解。這看上去根本無(wú)從下。但是如果想要判斷有沒(méi)有實(shí)根,就很簡(jiǎn)單了:只要中有一,就存在實(shí)數(shù)解,反之則不存。假如,那么就是一個(gè)實(shí)數(shù)解但是如果,那么對(duì)于任意實(shí)數(shù)都一定,所以不存在實(shí)數(shù)解。顯然,存在有理數(shù)解,那就一存在實(shí)數(shù)解,畢竟,但是反過(guò)并不一定成立。那實(shí)數(shù)解的存性對(duì)有理數(shù)解有幫助嗎?答案肯定的,為此我們需要定義希伯特符號(hào)(是“或者”,是“且”):要解決有理解的判斷題,需要對(duì)于每個(gè)素?cái)?shù)定義希伯特符號(hào)。這個(gè)定義同樣初等但是稍微麻煩一些,有興趣的者可以自行查閱參考文獻(xiàn) [1],我們之后不會(huì)涉及這個(gè)定義本身。少鵹點(diǎn)在于,這個(gè)定義是以直接計(jì)算的,所以很方便判。數(shù)學(xué)家們證明了一個(gè)驚人的理:存在有理數(shù)解當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)有都成立。這個(gè)定理的確非常便,但它提出了一個(gè)更加深刻問(wèn)題:既然可以解釋為判斷是有實(shí)數(shù)解,那是否也對(duì)應(yīng)著一的擴(kuò)域,而且當(dāng)且僅當(dāng)方程在個(gè)域中存在解呢?如果的確如,那似乎我們就能把有理數(shù)解作是這些所有域中解的“交集。當(dāng)然,交集的說(shuō)法并不準(zhǔn)確就結(jié)論而言,我們要尋找的對(duì)的正是進(jìn)數(shù)域,這些所有的和起,可以稱為對(duì)應(yīng)的“局部域。而則是“整體域”。上面的理其實(shí)是在講局部與整體的對(duì)。這聽(tīng)起來(lái)似乎匪夷所思,明域變大了,卻從整體變成了局?。要解釋這一點(diǎn),我們要先了一些幾何學(xué)。類比整數(shù)環(huán) ?與多項(xiàng)式環(huán)早在抽象環(huán)論誕生之,數(shù)學(xué)家們就注意到數(shù)論與幾的相似之處。具體來(lái)說(shuō),與作環(huán)的性質(zhì)非常相似,比如這兩環(huán)都能做帶余除法,因此它們是歐幾里得整環(huán)。這里是以為數(shù)的多項(xiàng)式環(huán),這個(gè)系數(shù)域就換成別的域也會(huì)有很多相似之,但是我們這里需要用到一些析的方法,所以復(fù)數(shù)最為方便順帶著,它們的分式域和也很似。就是指允許非零多項(xiàng)式做法。的元可以看作是上的亞純數(shù):它們的分母在個(gè)別點(diǎn)不一不為零,所以這些函數(shù)會(huì)有趨無(wú)窮的極點(diǎn),但是這些點(diǎn)都是散的,很容易處理。對(duì)于而言局部顯然就是指其中的任何一點(diǎn)。這些亞純函數(shù)在任何點(diǎn)附能展開(kāi)成洛朗級(jí)數(shù),就如同全函數(shù)(處處解析)能在任何點(diǎn)開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)一樣,只不過(guò)洛級(jí)數(shù)允許存在這樣的項(xiàng)。例如在點(diǎn)附近,可以展開(kāi)的形式。任何點(diǎn)處我們都能定義亞純函的階為其洛朗展開(kāi)最左邊那一的次數(shù)。比如上面這個(gè)函數(shù)在一點(diǎn)的階就是。類似的展開(kāi)也以在中進(jìn)行。一般來(lái)說(shuō)對(duì)于某有理數(shù),我們都能將它寫作的式,其中是互不相同的素?cái)?shù),整數(shù),可正可負(fù)。定義。我們沒(méi)有辦法把展開(kāi)成類似的形式?答案是肯定的,你可以形式地對(duì)做進(jìn)展開(kāi)為什么可以這樣呢?對(duì)于一般的實(shí)數(shù)除法,商小數(shù)點(diǎn)后的數(shù)字會(huì)越來(lái)越長(zhǎng),為我們默認(rèn)數(shù)字的位數(shù)越靠后其“大小”就越小,所以我們能寫出這樣的無(wú)窮小數(shù)。但是做出上面這樣的展開(kāi),其實(shí)是認(rèn)的序列會(huì)越來(lái)越“小”,我先寫,這樣只需要算,最后整移動(dòng)一位。計(jì)算如下細(xì)心的讀會(huì)發(fā)現(xiàn),這樣的除法之所以每步都能算出商的一位數(shù)字,依于是域這個(gè)事實(shí),所以對(duì)于不素?cái)?shù)的數(shù),不是域,也就不能樣展開(kāi)。這樣就算出了現(xiàn)在完依靠類比,我們得到了這樣的開(kāi)式。對(duì)任意素?cái)?shù),我們稱這的展開(kāi)為進(jìn)展開(kāi)。這樣的展開(kāi)小數(shù)的進(jìn)制表示非常相似,這也解釋了它的名字。但這純粹形式上的。我們還需要解釋三問(wèn)題:有理函數(shù)在某點(diǎn)的洛朗開(kāi)顯然與“局部”有關(guān),但是理數(shù)在素?cái)?shù)處的進(jìn)展開(kāi)為什么叫局部?為什么也是的局部?竟要怎么嚴(yán)格定義進(jìn)展開(kāi)?也是說(shuō),如何定義?為什么叫局?我們需要把中的點(diǎn)與聯(lián)系起,這樣才能知道,對(duì)于來(lái)說(shuō),究竟是什么意思。為此我們需理想的概念。對(duì)于一個(gè)交換環(huán)理想是一個(gè)滿足以下性質(zhì)的真集:對(duì)于加減法封閉;,也就說(shuō)的元在乘上任意中的元之后結(jié)果仍在中。這個(gè)定義原本是默爾(Ernst Eduard Kummer)與戴德金(Julius Wilhelm Richard Dedekind)為了解決代數(shù)數(shù)域中素元分解不成立而提出皮山(這也為什么叫做理想:一個(gè)非?!?想”的子集),代數(shù)幾何學(xué)家卻找到了它的幾何意義。我們來(lái)表示中包含的最小理想(也是說(shuō)由生成的理想)。這是一極大理想,也就是說(shuō),它不是何理想的真子集。實(shí)際上,對(duì)中的任意點(diǎn),都是極大理想。反過(guò)來(lái),中的所有極大理想,都形如。所以的點(diǎn)與的極大理一一對(duì)應(yīng)。這樣我們就能考慮極大理想,來(lái)當(dāng)作它的點(diǎn)了,的極大理想正是所有形如的理。這樣簡(jiǎn)單的類比其實(shí)還不能為“幾何”。這要等到格羅滕克(Alexander Grothendieck)創(chuàng)造性地提出概型理論,研究的代數(shù)何與研究的數(shù)論才能真正統(tǒng)一一起。在這套理論中,環(huán)的素想(本文中不需要這個(gè)概念)稱為點(diǎn),而極大理想則是閉點(diǎn)這套理論需要更加艱深的背景識(shí),本文就不做介紹了。總之上面我們用到的洛朗展開(kāi)和進(jìn)開(kāi),都是對(duì)應(yīng)兩個(gè)環(huán)的閉點(diǎn)。果接受這樣的設(shè)定,你就會(huì)發(fā)“局部”的說(shuō)法沒(méi)什么問(wèn)題。么在中的展開(kāi),也就是小數(shù)展,它算什么呢?它其實(shí)是對(duì)應(yīng)理函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的洛朗展開(kāi)如圖所示img復(fù)平面上的任何點(diǎn)都可以對(duì)應(yīng)于球面上的某諸懷只需要連接球的頂端與復(fù)平面的點(diǎn),線段一定會(huì)交于球面上一點(diǎn)。這樣就建立了復(fù)平面與面(除了頂端一點(diǎn))的一一對(duì)。而如果在復(fù)平面上以任何方接近無(wú)窮,轉(zhuǎn)換到球面上,就定會(huì)逼近頂點(diǎn)。這樣我們就可把這個(gè)球面當(dāng)作是的擴(kuò)充,稱黎曼球面,記作。現(xiàn)在要對(duì)有函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)處做洛朗展開(kāi)其實(shí)就是把里的有理函數(shù)看作是的函數(shù),然后在處作洛朗展。也就是因?yàn)檫@樣的類似性,們上面定義的判別式才寫作。義為了定義,我們首先得知道什么。從邏輯上來(lái)說(shuō),第一個(gè)義的應(yīng)該是自然數(shù),然后才是, 但是這每一步是怎么來(lái)的呢?是由皮亞諾公理茈魚義的,也就從開(kāi)始,規(guī)定每個(gè)數(shù)都有一個(gè)繼數(shù),所以可以使用數(shù)學(xué)歸納。隨后我們要得到,該怎么辦?直觀來(lái)看,定義整數(shù)允許了數(shù)的存在。但是負(fù)數(shù)究竟是什?比如說(shuō),它其實(shí)是,也可以。所以如果要用來(lái)定義的話,個(gè)整數(shù)實(shí)際上是中的一個(gè)等價(jià),也就是當(dāng)時(shí),我們規(guī)定等價(jià)系。這樣就可以定義為所有等類構(gòu)成的集合。當(dāng)然是的子集因?yàn)樽匀粩?shù)相當(dāng)于是這個(gè)等價(jià)。類似的方法可以構(gòu)造:因?yàn)?許分?jǐn)?shù)存在,而且如果,就有所以我們定義,其中當(dāng)時(shí)。而數(shù)也可以等同于等價(jià)類,所以是的子集。上面兩次擴(kuò)張,都允許了某種新的運(yùn)算,然后通取等價(jià)類的方式來(lái)構(gòu)造的。那是允許了什么運(yùn)算呢?答案是極限。從事后諸葛亮的角度來(lái),如下序列的極限是,但是現(xiàn)我們只有,所以我們只能說(shuō),個(gè)序列在中是不收斂的。如果所有像這樣的序列都收斂到一數(shù),那想必就是了。但并不是有序列都收斂,比如所以我們要對(duì)序列加以限制,然后取某等價(jià)類。限制后的序列被稱為西列,定義如下:對(duì)于有理序,滿足對(duì)于任意,都存在一個(gè)使得只要,就有。直觀來(lái)看,是要求序列的尾部擺動(dòng)趨于。難證明,收斂于有理數(shù)的序列是柯西列,所以這可以說(shuō)是中斂序列的自然推廣。當(dāng)然兩個(gè)西列有可能收斂于同一個(gè)數(shù),以我們還需要等價(jià)關(guān)系當(dāng)且僅。這樣所有柯西列組成的集合的所有等價(jià)類就定義為。所有有理數(shù)都等同于是常數(shù)柯西列等價(jià)類,所以也是的子集。這可以解釋一個(gè)對(duì)外行而言難以答的問(wèn)題。其實(shí)是柯西列,而是柯西列。他們的差是序列,于,所以兩個(gè)柯西列等價(jià)。不我們要注意一點(diǎn),柯西列的定依賴于。當(dāng)然這里的的定義是常意義上的絕對(duì)值。絕對(duì)值表兩個(gè)數(shù)之間的距離。在中,是來(lái)越小的。但是我們看到,在面的進(jìn)展開(kāi)中,越來(lái)越小的卻,這就提示我們,應(yīng)該更改這距離的定義,我們暫且把這種距離稱為,稱為進(jìn)度量。我們要越大,就越小,所以一個(gè)自的定義是。其實(shí)底數(shù)不一定要,取任何大于的數(shù)都可以(他決定的柯西列是完全一致的)之所以取只是為了方便。當(dāng)然距離并不是隨便取的,函數(shù)需滿足三條性質(zhì)才能叫做度量函(這其實(shí)定義了域上的范數(shù))當(dāng)且僅當(dāng);;,也就是三角形則,兩邊之和不小于第三邊。樣只要有距離函數(shù),就能定義西列,就能定義新的域。這個(gè)程被稱為完備化,因?yàn)槲覀兎Q何柯西列都收斂的域?yàn)橥陚溆?總結(jié)一下,就是說(shuō)的絕對(duì)值度完備化得到,而的進(jìn)度量完備就定義為,就是我們想要的進(jìn)域。我們甚至可以對(duì)定義類似距離,得到的完備化就是形式朗級(jí)數(shù)域和。所謂形式洛朗級(jí),就是形如一個(gè)洛朗級(jí)數(shù)的表式,不過(guò)不用處理收斂問(wèn)題。通過(guò)洛朗展開(kāi),嵌入到這些形洛朗級(jí)數(shù)域中作為子集。的完化不過(guò)我們并不把稱為局部域這是別的原因了,與本文無(wú)關(guān)我們可以看到,這些嵌入關(guān)系進(jìn)數(shù)非常相似。既然任意給一度量就能定義柯西列,那除了對(duì)值和進(jìn)度量之外,還有別的法定義距離嗎?答案是沒(méi)有。中,任意一個(gè)滿足上面三條性的度量,都等價(jià)于絕對(duì)值或者某個(gè)進(jìn)度量。也就是說(shuō),以上們提到的就是所有的完備化方了。我們平常計(jì)算實(shí)數(shù)的時(shí)候并不會(huì)總是考慮柯西列,反而小數(shù)展開(kāi)更常用;同樣,實(shí)際算進(jìn)數(shù)的時(shí)候,更常用進(jìn)展開(kāi)運(yùn)用以上構(gòu)造,我們可以證明且僅當(dāng)方程在中有解。所以我開(kāi)篇提到的定理,就可以表述:在中有解當(dāng)且僅當(dāng)其在所有中有解。我們自然而然會(huì)問(wèn),不是任意給一個(gè)多項(xiàng)式方程,存在有理解的條件都等同于存實(shí)數(shù)解和所有進(jìn)數(shù)解?答案是定的,有不少多項(xiàng)式不成立這結(jié)論。這激發(fā)起了數(shù)學(xué)家們的奇心:究竟哪些多項(xiàng)式有類似性質(zhì)呢?我們把這個(gè)方向稱為部 — 整體原則,直到今天,它所催生的新知識(shí)還在源源不滋養(yǎng)著整個(gè)數(shù)論的研究。跟現(xiàn)有什么關(guān)系嗎?的確,數(shù)論是離現(xiàn)實(shí)世界非常遙遠(yuǎn)的一個(gè)學(xué)。近些年來(lái),有部分?jǐn)?shù)論被應(yīng)于密碼學(xué)。而要直接應(yīng)用于物,以描述現(xiàn)實(shí)世界,并被大多物理學(xué)家所接受,這樣的工作前還不多。這從邏輯上其實(shí)是奇怪的。的完備化只有和,但什么我們今天的物理理論全都用及其代數(shù)閉包描述的呢?進(jìn)與實(shí)數(shù)從邏輯上講沒(méi)有任何高之分,他們都可以做導(dǎo)數(shù),做分,大多數(shù)你能想到的分析工,都能平等地用到它們身上。為什么我們生活在實(shí)數(shù)世界,不是進(jìn)數(shù)世界呢?還真有人想了這種可能性。弦論中,弦掃的世界面是用一維復(fù)流形(也是黎曼面)描述的,但是如果黎曼面換成是進(jìn)幾何學(xué)中對(duì)應(yīng)概念,也能創(chuàng)造出一套弦論,為進(jìn)弦論。目前來(lái)看,這方面研究成果還處于玩具階段。不,這并不影響我們的好奇心。竟,我們仰望夜空,只是因?yàn)?星很美麗。參考文獻(xiàn)[1] 加藤和也,黑川信重,齋藤毅.數(shù)論 I——Fermat 的夢(mèng)想和類域論.[2] Neal Koblitz, p-adic Numbers, p-adic Analysis, and Zeta-Functions.

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