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本文來(lái)自微信公眾號(hào)：返樸 （ID：fanpu2019），作者：張和持長(zhǎng)久以來(lái)，人們都將“”等同于“實(shí)數(shù)”??。實(shí)數(shù)就同當(dāng)空烈日一般，統(tǒng)治著整個(gè)數(shù)世界。文藝復(fù)興時(shí)期的代數(shù)學(xué)家了解方程，引入了復(fù)數(shù)?。?但便是復(fù)數(shù)這樣自然的構(gòu)造，也歷了幾百年才被數(shù)學(xué)界所接受。實(shí)的地位似乎是不可置疑的。到了 19 世紀(jì)末 20 世紀(jì)初，數(shù)學(xué)家們驚訝地發(fā)現(xiàn)，包含??的備域不一定是??，還有可能??進(jìn)數(shù)??。?就像是星星，??更像是月亮：月亮固然是夜空最為明亮的，也時(shí)常蓋過(guò)群星的輝，但是星星的存在也提示著我，這個(gè)宇宙中有更加遼遠(yuǎn)的空間待探索。上帝創(chuàng)造了整數(shù)，其他是人類的工作?！?利奧波德?克羅內(nèi)克（Leopold Kronecker）進(jìn)數(shù)的引入動(dòng)機(jī)?進(jìn)數(shù)的其實(shí)不是一個(gè)符號(hào)，而代表某一個(gè)素?cái)?shù)。有理數(shù)域可以充為實(shí)數(shù)域，但是這種擴(kuò)充并不唯一的。上面所說(shuō)的進(jìn)數(shù)，就是對(duì)于任意素?cái)?shù)，都可以擴(kuò)充為進(jìn)域。實(shí)數(shù)來(lái)自于有理數(shù)的小數(shù)展，而進(jìn)數(shù)來(lái)自有理數(shù)的進(jìn)展開(kāi)。然小數(shù)也有不同進(jìn)制的寫法，但這與進(jìn)數(shù)本質(zhì)上是不一樣的：小展開(kāi)默認(rèn)的是逐次變小，而進(jìn)展則默認(rèn)逐次變“小”。我們將在文中解釋這個(gè)問(wèn)題。如下圖所示實(shí)數(shù)與進(jìn)數(shù)的地位是相同的。實(shí)和進(jìn)數(shù)都包含有理數(shù)，他們之間并列的關(guān)系首次引入進(jìn)數(shù)的是德數(shù)學(xué)家亨澤爾（Kurt Hensel），而在他之前的庫(kù)默爾（Ernst Kummer）已經(jīng)隱含地使用過(guò)了這種奇妙的數(shù)字如同庫(kù)默爾一樣，亨澤爾的原始作也很難讀懂。他的文章發(fā)表于 1897 年，此時(shí)“域”的概念才僅僅誕生了 4 年：1893 年，韋伯（Heinrich Martin Weber）第一次定義了域，它是一個(gè)帶有加法乘法兩種運(yùn)算的集合，也可以寫，滿足加法和乘法的結(jié)合律加法乘法的交換律加法和乘法都有單元（一般把加法單位元寫作，乘單位元寫作）每個(gè)元都有加法逆，也就是每個(gè)非零元都有乘法逆，也就是乘法對(duì)于加法滿足分配我們熟悉的有理數(shù)和實(shí)數(shù)都是域韋伯之所以這么定義，是想把（是模剩余類，比如說(shuō)一周七天的數(shù)就是）也納入進(jìn)來(lái)。如果去掉法逆元的條件，上述定義就變成所謂的交換環(huán)，最典型的例子就整數(shù)環(huán)。數(shù)論的問(wèn)題通常是關(guān)于，如果在中允許非零元有乘法逆就得到了，這個(gè)構(gòu)造叫作取的分域。由于很多中得到的結(jié)論都能接套到上（例如中首項(xiàng)系數(shù)為的項(xiàng)式存在有理根當(dāng)且僅當(dāng)它存在數(shù)根），所以我們通常把它們放一起考慮。但是這兩個(gè)對(duì)象的性都很“糟糕”。例如，我們想要斷對(duì)于某一對(duì)非零的，是否有有數(shù)解。這看上去根本無(wú)從下手。是如果想要判斷有沒(méi)有實(shí)數(shù)根，很簡(jiǎn)單了：只要中有一個(gè)，就存實(shí)數(shù)解，反之則不存在。假如，么就是一個(gè)實(shí)數(shù)解。但是如果，么對(duì)于任意實(shí)數(shù)，都一定，所以存在實(shí)數(shù)解。很顯然，存在有理解，那就一定存在實(shí)數(shù)解，畢竟但是反過(guò)來(lái)并不一定成立。那實(shí)解的存在性對(duì)有理數(shù)解有幫助嗎答案是肯定的，為此我們需要定希爾伯特符號(hào)（是“或者”，是并且”）：要解決有理解的判斷題，需要對(duì)于每個(gè)素?cái)?shù)定義希爾特符號(hào)。這個(gè)定義同樣初等，但稍微麻煩一些，有興趣的讀者可自行查閱參考文獻(xiàn) [1]，我們之后不會(huì)涉及這個(gè)定義本身。重在于，這個(gè)定義是可以直接計(jì)算，所以很方便判斷。數(shù)學(xué)家們證了一個(gè)驚人的定理：存在有理數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)所有都成立。這個(gè)定的確非常方便，但它提出了一個(gè)加深刻的問(wèn)題：既然可以解釋為斷是否有實(shí)數(shù)解，那是否也對(duì)應(yīng)一個(gè)的擴(kuò)域，而且當(dāng)且僅當(dāng)方程這個(gè)域中存在解呢？如果的確如，那似乎我們就能把有理數(shù)解看是這些所有域中解的“交集”。然，交集的說(shuō)法并不準(zhǔn)確。就結(jié)而言，我們要尋找的對(duì)應(yīng)的正是數(shù)域，這些所有的和一起，可以為對(duì)應(yīng)的“局部域”。而則是“體域”。上面的定理其實(shí)是在講部與整體的對(duì)應(yīng)。這聽(tīng)起來(lái)似乎夷所思，明明域變大了，卻從整變成了局部。要解釋這一點(diǎn)，我要先了解一些幾何學(xué)。類比整數(shù) ?與多項(xiàng)式環(huán)早在抽象環(huán)論誕生之前，數(shù)學(xué)家們就注意竹山數(shù)論與何的相似之處。具體來(lái)說(shuō)，與作環(huán)的性質(zhì)非常相似，比如這兩個(gè)都能做帶余除法，因此它們都是幾里得整環(huán)。這里是以為系數(shù)的項(xiàng)式環(huán)，這個(gè)系數(shù)域就算換成別域也會(huì)有很多相似之處，但是我這里需要用到一些分析的方法，以復(fù)數(shù)最為方便。順帶著，它們分式域和也很相似。就是指允許零多項(xiàng)式做除法。的元可以看作上的亞純函數(shù)：它們的分母在個(gè)點(diǎn)不一定不為零，所以這些函數(shù)有趨于無(wú)窮的極點(diǎn)，但是這些點(diǎn)是離散的，很容易處理。對(duì)于而，局部顯然就是指其中的任何一點(diǎn)。這些亞純函數(shù)在任何點(diǎn)附近展開(kāi)成洛朗級(jí)數(shù)，就如同全純函（處處解析）能在任何點(diǎn)展開(kāi)成勒級(jí)數(shù)一樣，只不過(guò)洛朗級(jí)數(shù)允存在這樣的項(xiàng)。例如，在點(diǎn)附近可以展開(kāi)的形式。在任何點(diǎn)處我都能定義亞純函數(shù)的階為其洛朗開(kāi)最左邊那一項(xiàng)的次數(shù)。比如上這個(gè)函數(shù)在這一點(diǎn)的階就是。類的展開(kāi)也可以在中進(jìn)行。一般來(lái)對(duì)于某個(gè)有理數(shù)，我們都能將它作的形式，其中是互不相同的素，是整數(shù)，可正可負(fù)。定義。我有沒(méi)有辦法把展開(kāi)成類似的形式？答案是肯定的，你可以形式化對(duì)做進(jìn)展開(kāi)為什么可以這樣寫呢對(duì)于一般的實(shí)數(shù)除法，商的小數(shù)后的數(shù)字會(huì)越來(lái)越長(zhǎng)，因?yàn)槲覀?認(rèn)數(shù)字的位數(shù)越靠后，其“大小就越小，所以我們才能寫出這樣無(wú)窮小數(shù)。但是要做出上面這樣展開(kāi)，其實(shí)是默認(rèn)的序列會(huì)越來(lái)“小”，我們先寫，這樣只需要，最后整體移動(dòng)一位。計(jì)算如下心的讀者會(huì)發(fā)現(xiàn)，這樣的除法之以每一步都能算出商的一位數(shù)字依賴于是域這個(gè)事實(shí)，所以對(duì)于是素?cái)?shù)的數(shù)，不是域，也就不能樣展開(kāi)。這樣就算出了現(xiàn)在完全靠類比，我們得到了這樣的展開(kāi)。對(duì)任意素?cái)?shù)，我們稱這樣的展為進(jìn)展開(kāi)。這樣的展開(kāi)與小數(shù)的制表示非常相似，這也也解釋了的名字。但這純粹是形式上的。們還需要解釋三個(gè)問(wèn)題：有理函在某點(diǎn)的洛朗展開(kāi)顯然與“局部有關(guān)，但是有理數(shù)在素?cái)?shù)處的進(jìn)開(kāi)為什么也叫局部？為什么也是局部？究竟要怎么嚴(yán)格定義進(jìn)展？也就是說(shuō)，如何定義？為什么局部？我們需要把中的點(diǎn)與聯(lián)系來(lái)，這樣才能知道，對(duì)于來(lái)說(shuō)，究竟是什么意思。為此我們需要想的概念。對(duì)于一個(gè)交換環(huán)，理是一個(gè)滿足以下性質(zhì)的真子集：于加減法封閉；，也就是說(shuō)的元乘上任意中的元之后，結(jié)果仍在。這個(gè)定義原本是庫(kù)默爾（Ernst Eduard Kummer）與戴德金（Julius Wilhelm Richard Dedekind）為了解決代數(shù)數(shù)域中素元分解不成立而提出的這也是為什么叫做理想：一個(gè)非“理想”的子集），代數(shù)幾何學(xué)們卻找到了它的幾何意義。我們來(lái)表示中包含的最小理想（也就說(shuō)由生成的理想）。這是一個(gè)極理想，也就是說(shuō)，它不是任何理的真子集。實(shí)際上，對(duì)于中的任點(diǎn)，都是極大理想。而反過(guò)來(lái)，的所有極大理想，全都形如。所的點(diǎn)與的極大理想一一對(duì)應(yīng)。這我們就能考慮的極大理想，來(lái)當(dāng)它的點(diǎn)了，而的極大理想正是所形如的理想。這樣簡(jiǎn)單的類比其還不能稱為“幾何”。這要等到羅滕迪克（Alexander Grothendieck）創(chuàng)造性地提出概型理論，研究的代數(shù)何與研究的數(shù)論才能真正統(tǒng)一在起。在這套理論中，環(huán)的素理想本文中不需要這個(gè)概念）被稱為，而極大理想則是閉點(diǎn)。這套理需要更加艱深的背景知識(shí)，本文不做介紹了?？傊?，上面我們用的洛朗展開(kāi)和進(jìn)展開(kāi)，都是對(duì)應(yīng)個(gè)環(huán)的閉點(diǎn)。如果接受這樣的設(shè)，你就會(huì)發(fā)現(xiàn)“局部”的說(shuō)法沒(méi)么問(wèn)題。那么在中的展開(kāi)，也就小數(shù)展開(kāi)，它算什么呢？它其實(shí)對(duì)應(yīng)有理函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的洛朗開(kāi)。如圖所示img復(fù)平面上的任何點(diǎn)都可以對(duì)應(yīng)于球面上的某吉量只需要連接球的頂端與復(fù)平面上點(diǎn)，線段一定會(huì)交于球面上的一。這樣就建立了復(fù)平面與球面（了頂端一點(diǎn)）的一一對(duì)應(yīng)。而如在復(fù)平面上以任何方向接近無(wú)窮轉(zhuǎn)換到球面上，就一定會(huì)逼近頂。這樣我們就可以把這個(gè)球面當(dāng)是的擴(kuò)充，稱為黎曼球面，記作現(xiàn)在要對(duì)有理函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)處洛朗展開(kāi)，其實(shí)就是把里的有理數(shù)看作是是的函數(shù)，然后在處作朗展開(kāi)。也就是因?yàn)檫@樣的類似，我們上面定義的判別式才寫作定義為了定義，我們首先得知道什么。從邏輯上來(lái)說(shuō)，第一個(gè)定的應(yīng)該是自然數(shù)，然后才是, 但是這每一步是怎么來(lái)的呢？是由亞諾公理定義的，也就是從開(kāi)始規(guī)定每個(gè)數(shù)都有一個(gè)后繼數(shù)，所可以使用數(shù)學(xué)歸納法。隨后我們得到，該怎么辦呢？直觀來(lái)看，義整數(shù)允許了負(fù)數(shù)的存在。但是數(shù)究竟是什么？比如說(shuō)，它其實(shí)，也可以是。所以如果要用來(lái)定的話，一個(gè)整數(shù)實(shí)際上是中的一等價(jià)類，也就是當(dāng)時(shí)，我們規(guī)定價(jià)關(guān)系。這樣就可以定義為所有價(jià)類構(gòu)成的集合。當(dāng)然是的子集因?yàn)樽匀粩?shù)相當(dāng)于是這個(gè)等價(jià)類類似的方法可以構(gòu)造：因?yàn)樵试S數(shù)存在，而且如果，就有，所以們定義，其中當(dāng)時(shí)。而整數(shù)也可等同于等價(jià)類，所以也是的子集上面兩次擴(kuò)張，都是允許了某種的運(yùn)算，然后通過(guò)取等價(jià)類的方來(lái)構(gòu)造的。那么是允許了什么運(yùn)呢？答案是取極限。從事后諸葛的角度來(lái)看，如下序列的極限是但是現(xiàn)在我們只有，所以我們只說(shuō)，這個(gè)序列在中是不收斂的。果讓所有像這樣的序列都收斂到個(gè)數(shù)，那想必就是了。但并不是有序列都收斂，比如所以我們需對(duì)序列加以限制，然后取某種等類。限制后的序列被稱為柯西列定義如下：對(duì)于有理序列，滿足于任意，都存在一個(gè)，使得只要就有。直觀來(lái)看，就是要求序列尾部擺動(dòng)趨于。不難證明，收斂有理數(shù)的序列都是柯西列，所以可以說(shuō)是中收斂序列的自然推廣當(dāng)然兩個(gè)柯西列有可能收斂于同個(gè)數(shù)，所以我們還需要等價(jià)關(guān)系且僅當(dāng)。這樣所有柯西列組成的合中的所有等價(jià)類就定義為。所的有理數(shù)都等同于是常數(shù)柯西列等價(jià)類，所以也是的子集。這也以解釋一個(gè)對(duì)外行而言難以解答問(wèn)題。其實(shí)是柯西列，而則是柯列。他們的差是序列，趨于，所兩個(gè)柯西列等價(jià)。不過(guò)我們要注一點(diǎn)，柯西列的定義依賴于。當(dāng)這里的的定義是平常意義上的絕值。絕對(duì)值表示兩個(gè)數(shù)之間的距。在中，是越來(lái)越小的。但是我看到，在上面的進(jìn)展開(kāi)中，越來(lái)小的卻是，這就提示我們，應(yīng)該改這個(gè)距離的定義，我們暫且把種新距離稱為，稱為進(jìn)度量。我需要越大，就越小，所以一個(gè)自的定義是。其實(shí)底數(shù)不一定要是取任何大于的數(shù)都可以（他們決的柯西列是完全一致的），之所取只是為了方便。當(dāng)然，距離并是隨便取的，函數(shù)需要滿足三條質(zhì)才能叫做度量函數(shù)（這其實(shí)定了域上的范數(shù)）：當(dāng)且僅當(dāng)；；也就是三角形法則，兩邊之和不于第三邊。這樣只要有距離函數(shù)就能定義柯西列，就能定義新的。這個(gè)過(guò)程被稱為完備化，因?yàn)?們稱任何柯西列都收斂的域?yàn)橥?域。總結(jié)一下，就是說(shuō)的絕對(duì)值量完備化得到，而的進(jìn)度量完備就定義為，就是我們想要的進(jìn)數(shù)。我們甚至可以對(duì)定義類似的距，得到的完備化就是形式洛朗級(jí)域和。所謂形式洛朗級(jí)數(shù)，就是如一個(gè)洛朗級(jí)數(shù)的表達(dá)式，不過(guò)用處理收斂問(wèn)題。則通過(guò)洛朗展，嵌入到這些形式洛朗級(jí)數(shù)域中為子集。的完備化不過(guò)我們并不稱為局部域，這是別的原因了，本文無(wú)關(guān)。我們可以看到，這些入關(guān)系與進(jìn)數(shù)非常相似。既然任給一個(gè)度量就能定義柯西列，那了絕對(duì)值和進(jìn)度量之外，還有別方法定義距離嗎？答案是沒(méi)有。中，任意一個(gè)滿足上面三條性質(zhì)度量，都等價(jià)于絕對(duì)值或者是某進(jìn)度量。也就是說(shuō)，以上我們提的就是所有的完備化方案了。我平常計(jì)算實(shí)數(shù)的時(shí)候倒并不會(huì)總考慮柯西列，反而是小數(shù)展開(kāi)更用；同樣，實(shí)際計(jì)算進(jìn)數(shù)的時(shí)候更常用進(jìn)展開(kāi)。運(yùn)用以上構(gòu)造，們可以證明當(dāng)且僅當(dāng)方程在中有。所以我們開(kāi)篇提到的定理，就以表述為：在中有解當(dāng)且僅當(dāng)其所有及中有解。我們自然而然會(huì)，是不是任意給一個(gè)多項(xiàng)式方程其存在有理解的條件都等同于存實(shí)數(shù)解和所有進(jìn)數(shù)解？答案是否的，有不少多項(xiàng)式不成立這個(gè)結(jié)。這激發(fā)起了數(shù)學(xué)家們的好奇心究竟哪些多項(xiàng)式有類似的性質(zhì)呢我們把這個(gè)方向稱為局部 — 整體原則，直到今天，它所催生的知識(shí)還在源源不斷滋養(yǎng)著整個(gè)數(shù)的研究。跟現(xiàn)實(shí)有什么關(guān)系嗎？確，數(shù)論是距離現(xiàn)實(shí)世界非常遙的一個(gè)學(xué)科。近些年來(lái)，有部分論被應(yīng)用于密碼學(xué)。而要直接應(yīng)于物理，以描述現(xiàn)實(shí)世界，并被多數(shù)物理學(xué)家所接受，這樣的工目前還不多。這從邏輯上其實(shí)是奇怪的。的完備化只有和，但為么我們今天的物理理論全都是用其代數(shù)閉包描述的呢？進(jìn)數(shù)與實(shí)從邏輯上講沒(méi)有任何高下之分，們都可以做導(dǎo)數(shù)，做積分，大多你能想到的分析工具，都能平等用到它們身上。那為什么我們生在實(shí)數(shù)世界，而不是進(jìn)數(shù)世界呢還真有人想到了這種可能性。弦中，弦掃過(guò)的世界面是用一維復(fù)形（也就是黎曼面）描述的，但如果把黎曼面換成是進(jìn)幾何學(xué)中應(yīng)的概念，也能創(chuàng)造出一套弦論稱為進(jìn)弦論。目前來(lái)看，這方面研究成果還處于玩具階段。不過(guò)這并不影響我們的好奇心。畢竟我們仰望夜空，只是因?yàn)槿盒呛?麗。參考文獻(xiàn)[1] 加藤和也，黑川信重，齋藤毅.數(shù)論 I——Fermat 的夢(mèng)想和類域論.[2] Neal Koblitz, p-adic Numbers, p-adic Analysis, and Zeta-Functions.